Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
4) Он описан в обзоре Фишера [9].
6) Наиболее важен метод аппроксимант Паде. Обзор по этому вопросу см. в работе Бейкера [22].
Магнитное упорядочение
327
числом) некоторая аналогия с реальной ситуацией. Но зато мы имеем модель, для которой несравненно проще получить аналитические результаты. Детальный теоретический анализ таких моделей важен, во-первых, потому, что он дает возможность сделать некоторые предположения относительно более реалистичной модели Гейзенберга, а во-вторых, служит для предварительной отработки различных приближенных методов.
Наиболее важным упрощением модели Гейзенберга является модель Изин-га, в которой члены с и Б- просто выбрасываются из гамильтониана Гейзенберга (33.9). Тогда остается следующее выражение:
^™ВД=__1_ ? /(К_К')8г(К)Зг(К')-*МГ2 3*(к)- (33.52)
К, К' и
Поскольку все операторы Э2( И) коммутируют между собой, гамильтониан о$?Шпз оказывается диагональным в представлении, в котором диагоналей каждый отдельный оператор 32(К), т. е. известны все собственные функции и собственные значения гамильтониана. Несмотря на это, вычисление статистической суммы остается чрезвычайно трудной задачей. Однако высокотемпературное разложение получается очень легко и может быть проведено с точностью до членов более высокого порядка, чем в модели Гейзенберга; исчезают и значительные трудности, связанные с низкотемпературным разложением (к сожалению, вместе с блоховским законом Т3^).
Однако вблизи критической точки до сих пор приходится ограничиваться экстраполяцией высокотемпературного и низкотемпературного разложения; исключение составляет двумерная модель Изинга с взаимодействием только между ближайшими соседями 4). В этом единственном случае для нескольких простых решеток (например, квадратной, треугольной, шестиугольной) известно точное выражение для свободной энергии в нулевом магнитном поле и для спонтанной намагниченности 2). Следует подчеркнуть, что получение этих результатов представляет собой одно из наиболее впечатляющих достижений теоретической физики, хотя для построения решаемой с таким трудом модели и пришлось пойти на значительные упрощения.
Согласно точному решению Онсагера, теплоемкость двумерной модели Изинга в нулевом поле имеет логарифмическую особенность, если приближаться к критической температуре Тс как сверху, так и снизу. Спонтанная намагниченность стремится к нулю как (Тс — Т)1!*, а восприимчивость расходится как (Т — Тс)~'/4. Отметим, что эти показатели степени довольно сильно отличаются от наблюдаемых значений (см. стр. 315); исключение составляет, по-видимому, особенность в поведении теплоемкости (степенную расходимость с очень малым показателем степени очень трудно отличить от логарифмической особенности). Такое поведение обусловлено двумерной структурой модели. Разложение в ряд в трехмерном случае указывает на наличие особенностей, более близких к наблюдаемым.
Наконец, отметим еще один подход к рассмотрению критической области, основанный на так называемой гипотезе масштабной инвариантности или скей-
х) См., однако, примечание 1 на стр. 316 о методе ренормализационной группы. Модель Изинга может быть также полностью проанализирована в одномерном случае, который, однако, характеризуется тем, что ни при каком конечном радиусе взаимодействия и ни при какой температуре магнитного упорядочения не существует.
2) Решение было найдено Онсагером [23]. Первый опубликованный расчет спонтанной намагниченности (Онсагер сообщил результат, но никогда не публиковал свои вычисления) принадлежит Янгу [24]. Сравнительно доступный вариант онсагеровского расчета для свободной энергии имеется в статье Шульца и др. [25].
328
Глава 33
линга в данном случае заключающейся в том, что вблизи Т = Тс при Н =0 магнитное уравнение состояния должно иметь вид
Если такое уравнение существует, то можно получить некоторые соотношения между показателями степени, описывающими особенности в критической точке,
Фиг. 33.10. Магнитное уравнение состояния никеля вблизи Тс = 627,4 К. (Из работы [32].) Если выполняется гипотеза скейлинга, то должны существовать два не зависящих от температуры^показателя степени Р и V, такие, что величина Н/| Т — Тс I зависит от переменных М и Т только в комбинации М/ | Т — Тс | Р. (Однако вид функциональной зависимости различен выше и ниже Тс.) Представив величину [М/ | 1 — (Г/Тс) | Р]« в зависимости от [Н/ | 1 — (Г/Гс) | | 1 — (Г/Тс)Ч, можно показать, в какой степени выполняется эта гипотеза. Для пяти различных температур выше Тс все построенные таким способом точки ложатся на одну универсальную кривую; аналогичное поведение обнаруживается при пяти различных температурах ниже Тс. Использованы следующие значения показателей степени: я = 0,378 и у = 1,34, (Я измеряется в гауссах, а М в единицах СГСМ на грамм.)
например а + 26 + у = 2 [см. (33.1)—(33.3)]. Эти соотношения можно доказать2) лишь в форме неравенств, но в реальных системах эти неравенства по-видимому превращаются в строгие равенства. Гипотеза скейлинга была применена к рас-
1) См. работы [26, 27].
