Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Такие состояния с одной спиновой волной являются точными собственными состояниями гамильтониана Гейзенберга. При расчете низкотемпературных свойств часто предполагают, что собственные состояния с многими спиновыми волнами, имеющие энергию <§ (кх) + I (к2) +...-{- ?(к^о), могут быть построены как суперпозиция Я0 спиновых волн с волновыми векторами к]; . . . . . ., кд,0. По аналогии с фононами в гармоническом кристалле (где многофонон-ные состояния так же, как и однофопонные, являются точными стационарными состояниями) это предположение представляется довольно разумным. Однако в случае спиновых волн оно выполняется только приближенно. Для спиновых волн не выполняется точный принцип суперпозиции. Тем не менее было показано, что рассматриваемое приближение правильно воспроизводит основной член намагниченности при низких температурах. Поэтому мы будем использовать это приближение, в частности для вычисления М (Т). Следует, однако, предупредить, что для получения более точного результата, чем главный поправочный член к намагниченности, отвечающей Т = 0, необходимо пользоваться значительно более сложными методами.
Магнитное упорядочение 321
*) См. аналогичное рассмотрение для фононов на стр. 80—82.
2) Бозевский характер функции распределения магнонов (32.29)—следствие правил коммутации для моментов (31.83) с учетом того, что <5г(К)> « 5.— Прим. ред.
Если энергии низколежащих возбужденных состояний ферромагнетика имеют вид
2 «(к) пк, пк = 0, 1, 2..... (33.28)
то среднее число спиновых волн с волновым вектором к при температуре Т описывается выражением *>2)
п(к) = (п^ 1 (33.29)
(е ' в -1)
Поскольку каждая спиновая волна уменьшает полный спин на единицу по сравнению с его максимальным значением Л7 5, намагниченность при температуре Т описывается формулой
М(Г) = Л/(0)[1--г±-2»<к)], (33.30)
к
или
М (Т) = М (0) [1 | ]. (33.31)
Спонтанную намагниченность можно вычислить по формуле (33.31), если воспользоваться для Ш (к) выражением (33.25) в случае нулевого магнитного поля:
Ш(k) = 2S23J(B)sm2(4гk.n). (33.32)
н
При очень низких температурах интеграл в (33.31) вычисляется тем же методом, который применялся для нахождения низкотемпературной решеточной теплоемкости в гл. 23. При Т ->0 только спиновые волны с чрезвычайно малой энергией будут вносить заметный вклад в интеграл. Так как мы считаем все обменные константы / (К.) положительными, энергия спиновых волн имеет очень малую величину только в пределе к -*~0, ъ котором она определяется выражением
1(к)«4'2/(11)(к'К)2- (33-33)
в.
Этот результат можно подставить в выражение (33.31) при произвольных к, поскольку в той области, где приближение (33.33) перестает быть справедливым, как точные, так и приближенные значения Ш (к) оказываются столь большими, что при Т —>0 они вносят пренебрежимо малый вклад в интеграл. По той же причине мы можем интегрировать не по первой 8оне Бриллюэна, а по всему ^-пространству: при низких температурах соответствующая ошибка пренебрежимо мала. Наконец, сделав замену переменной к = {квТ)Чщ, приходим к следующему результату:
М(Т)-М(0) [1 --^(квТ)°» I {ехр [5 ? /(К)- I}"1].
(33.34)
Последнее выражение показывает, что при повышении температуры от Т — 0 спонтанная намагниченность должна отличаться от намагниченности насыщения на величину, пропорциональную Т*1*. Этот результат носит назва-
322
Глава 33
ние закона Т3^ Блоха. Закон Т3^ хорошо подтверждается результатами экспериментов *) (фиг. 33.8). Было также показано 2), что (33.34) представляет собой точное выражение для основного члена в низкотемпературном разложении
отклонения намагниченности от ее максимального значения.
Еще один вывод из (33.34) был подтвержден точно. В одно- и двумерном случаях интеграл в (33.34) расходится при малых <7- Обычная интерпретация этого результата заключается в том, что при любой отличной от нуля температуре возбуждается так много спиновых волн, что намагниченность полностью исчезает. Утверждение об отсутствии спонтанной намагниченности в одно-и двумерной изотропной модели Гейзен-берга было строго доказано без использования спин-волнового приближения 3).
Наличие спиновых волн характерно не только для изотропного гейзенберговского ферромагнетика. Существует спин-волновая теория низколежащих возбужденных состояний антиферромагнетика, которая гораздо более сложна. Это и следовало ожидать, поскольку даже основное состояние антиферромагнетика нам неизвестно. В отличие от ферромагнитного случая теория предсказывает линейную зависимость энергии возбуждения спиновой волны от к в пределе больших длин волн 4).
Были построены также теории спиновых волн в зонных моделях магнетизма. Вообще говоря, спиновые волны, по-видимому, должны существовать во всех тех случаях, когда имеется связанное с локальным упорядочением направление, которое может изменяться непрерывным образом, причем проигрыш в энергии за счет такого изменения становится очень малым в пределе больших длин волн.
Как упоминалось выше, упругое магнитное рассеяние нейтронов позволяет установить магнитную структуру, подобно тому как упругое немагнитное рассеяние нейтронов позволяет определить пространственное расположение ионов. Аналогия распространяется и на случай неупругого рассеяния. Неупругое магнитное рассеяние нейтронов выявляет спектр спиновых волн, подобно тому как немагнитное неупругое рассеяние нейтронов позволяет найти фононный спектр. Таким образом, существуют «односпинволновые» пики в магнитной части
