Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
диффузии (29.36) принимает вид
рЛх) = ^ + [рЛа1п)-^\е-{х^Р, х^о1п. (29.44)
Аналогично выражение для концентрации электронов в диффузионной области с р-стороны имеет вид
пс(х)=^- + [пс(-<1р)-^-]е^/\ x^-dp. (29.45)
Подставляя эти концентрации в соотношения (29.43), находим токи неосновных носителей на границах обедненного слоя:
Dp Г
(29.46)
следовательно, для полного тока (29.42) имеем
eDn г.. , х "11, eD±
Jv
Нам осталось только найти, насколько концентрации неосновных носителей отличаются от их равновесных значений на границах обедненного слоя. В равновесном случае мы находили изменение концентраций носителей в пределах обедненного слоя, используя равновесные выражения (29.3) для концентраций носителей в заданном потенциале ф (х). Выше мы отмечали, что эти выражения вытекают из того, что в равновесии дрейфовые токи равны диффузионным по величине и противоположны им по направлению. В неравновесном случае, вообще говоря (например, в диффузионной области), дрейфовые и диффузионные токи не компенсируют друг друга и соотношения (29.3) не выполняются. Однако в обедненном слое существует приблизительное равенство между дрейфовыми и диффузионными токами Следовательно, в разумном приближении концентрации носителей подчиняются выражениям (29.3), изменяясь в ее^!квт раз при переходе через обедненный слой, т. е.
nc(-dp) = nc(dn) е-'**>квг=1пс (dn) e-^>«''V , e'V*n\
PV (dn) =PA-dp) e-**lk»T = [Pv ( -dp) е-«Л*>о/*вГ] e^V.
Если eV < Eg, то величина V мала по сравнению с (Аф)0 и концентрации неосновных носителей [пс (—dp) и р„ (с7„)] остаются малыми по сравнению с их значениями в той области, где они являются основными [пс (dn) и pv (—dp)], как это имеет место при V = 0. Следовательно, условия обращения в нуль объемного заряда на границах обедненного слоя
пс (dn) — Pv (dn) = Nd, Pv (-dp) - nc i-dr) = Na (29.49)
определяют значения концентраций основных' носителей пс (dn) и pv (—dp), которые отличаются от их равновесных значений Nd и Na только множителем, близким к единице. Поэтому с высокой точностью при eV < Eg будут выпол-
*) Это показано в задаче 4.
230
Глава 29
няться равенства
или эквивалентно 4)
(29.50)
(29.51)
Подставляя эти результаты в выражение (29.47) для полного тока, находим
^(т^г+пХ)^-^ (29'52)
Эта формула имеет вид (29.26), где токи генерации записаны в явном виде:
v "а I ЬР
(29.53)
Если с помощью соотношений (29.37) исключить коэффициенты диффузии, входящие в (29.53), то выражения для токов генерации совпадут с грубыми оценками (29.40) и (29.41).
ЗАДАЧИ
1. Обедненный слой при термодинамическом равновесии
а) Покажите, что если сохранить для концентраций носителей точные (в невырожденном случае) формулы (29.3), то уравнение Пуассона [которое мы аппроксимировали в тексте уравнением (29.13)] сводится к следующему дифференциальному уравнению для переменной V = (еф + \х - цг)/квТ:
¦** -К^(а^-Ш±) , (29.54)
йхг
где А"2 = 8лп 1е2/квТе, AN (х) — профиль легирования, АЛГ (х) = (х) — Ыа (х), а гег и — концентрация носителей и химический потенциал в образце без примесей при той же температуре.
б) В тексте рассматривался случай р — ге-перехода, изготовленного из сильно легированного материала, в котором Л^, Л'а п;. В противоположном предельном случае слабо легпрованного практически собственного полупроводника, в котором
Щ > N4, Ага,
(29.55)
мы ложем с высокой точностью найти электростатический потенциал при произвольном профиле легирования, действуя следующим образом:
1) Пусть г|) <^ 1, тогда 8Пг|) да г|). Покажите, что в этом случае решение (29.54) можно записать в виде
г|)(г) =
2 Л 3 йХ 2,ц
(29.56)
2) Покажите, что из этого решения при условий (29.55) действительно следует, что г|) ^ 1 в соответствии с исходным допущением.
1) Этот результат следует из формул (29.6) для (АФ)0 и (28.19) для гег. Он также непосредственно вытекает из требования, чтобы выражения (29.50) при 7=0 давали правильные равновесные значения концентраций пс (—йр) = п%Ша и рв (йп) = щШ^.
Неоднородные полупроводники 231
Обсудите, насколько важна эта поправка к ф и насколько надежные значения концентраций носителей в обедненном слое дают формулы (29.12) при использовании приближенного решения (29.14).
д) Как и в п. «г», найдите и обсудите приближенное и точное выражения для напряженности электрического поля при x = 0.
2. Вывод соотношений Эйнштейна ив кинетической теории
Покажите, что феноменологические соотношения (29.27), связывающие токи различных носителей с электрическим полем и градиентами концентраций носителей, следуют из элементарного рассмотрения кинетики процесса (подобного проведенному в гл. 1), если взять подвижности в виде (29.28) и (29.29), а коэффициенты диффузии в виде
в = -1(„2)Тсоп. (29.60)
Покажите, что соотношения Эйнштейна (29.30) выполняются, если средний квадрат тепловой скорости (г^) определяется статистикой Максвелла — Больцмана.
3. Соотношения Эйнштейна в вырожденном случае
Для вырожденных неоднородных полупроводников необходимо следующим образом обобщить выражения (29.3) для равновесных концентраций носителей:
