Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
ASi = ViAti = mR I Avi \/(lBf, (9)
где ASi — путь, пройденный стержнем за время Azi. Для определения всего расстояния, на которое переместился стержень, нужно найти сумму всех отрезков ASi от начала движения до момента остановки Г:
t-T
S = ^lASi = ZvM.
і t — 0
Соотношение (9) позволяет ту же величину получить другим способом: найти сумму величин rnR \Avi\!(lBf от начала движения (когда скорость равна V0) до момента остановки, т. е.
о=0
с m,R via і TnRv0 TtlRvi . . п.
s = (wlJa^I = w = -itj. (10)
Bt=H0
1581 Таким образом, нам удалось вычислить перемещение стержня, не определяя времени его движения.
Еще интереснее, что соотношение (9) позволит определить и время движения Т. Перепишем (9) в виде
JAw1Ml = {IB? AtiImR. (И)
Смысл последнего выражения можно понимать так: за равные интервалы времени Ati скорость изменяется в одно и то же число раз, независимо от того, какой именно момент времени мы рассматриваем. Подберем величину At так, чтобы за это время скорость изменялась, например, вдвое (при этом At совсем не обязано быть малым). Тогда за время 2Дt скорость изменится вчетверо, за время nAt — в 2п раз, и т. д. К любому, сколь угодно большому, но конечному моменту времени скорость будет иметь малое, но конечное значение. Следовательно, в нашей идеализированной задаче стержень движется неограниченное время (не забывайте при этом, что для очень далеких моментов времени от начала движения скорость стержня становится ничтожной).
Перейдем к ответу на третий вопрос задачи. Из соотношения (6) следует, что ток в контуре и скорость стержня пропорциональны:
Zi=Tcyi, к = IBlR = const. (12)
Следовательно, и изменяются эти величины пропорционально ДРУГ другу, т. е.
A Ii^kAvi, (13)
где AIi и Ayi — изменения тока и скорости за один и тот же интервал времени. Подставляя последнее соотношение в формулу (9), получаем, что
IiAti^mRlAIiIZ(IB)2. (14)
Для нахождения величины заряда q, прошедшего через сопротивление R, применим уже использованный прием суммирования:
(=0 I=Jm
Проверим выполнение закона сохранения энергии. В процессе движения стержня уменьшается (до нуля) его кинетическая энергия и рассеивается тепло на сопротивлении /?. Количество тепла Q, следовательно, должно быть равно начальной кинетической энергии стержня T0 = mv'?/2.
За малый интервал времени Ati вблизи момента ti кинетическая энергия стержня изменяется на величину
Mi = Tniffo- m(Vi + Avi)V2 -WiyiAyi (16)
(мы пренебрегли величиной (Ayi)2 по сравнению с величиной Vi Avi).
За тот же интервал времени на сопротивлении рассеивается тепловая энергия, величина которой определяется законом Джо-
1581 уля—Ленца, AQi = I1iR Ati. Подставив в это выражение значения величин Ii и IiAti из формул (12)—(14), найдем, что A^i — = Ii (IiAti)R = Mvi IAwiI, а эта величина совпадает с величиной IAJiI из равенства (16), что и требовалось доказать.
ЗАДАЧА 141
Электрон, обладающий малой по сравнению со скоростью света скоростью V, попадает в область пространства, в которой созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Напряженность электрического поля равна Е, индукция магнитного — В, причем в системе СИ E сВ, где с — скорость света. В начальный момент скорость v перпендикулярна векторам E и В.
Как движется электрон в дальнейшем? Существует ли такая скорость движения V0, при которой траектория электрона прямолинейна?
Опыт происходит в вакууме. Силой тяготения пренебречь.
РЕШЕНИЕ
Сила, действующая на электрон со стороны электростатического поля, не зависит от скорости электрона, Fe = еЕ, и направлена в сторону, противоположную Е. Сила взаимодействия электрона с магнитным полем (сила Лоренца), Fm = Bev, направлена вдоль прямой, перпендикулярной к В и v. Следовательно, траектория электрона лежит в плоскости, перпендикулярной В.
Если начальная скорость электрона такова, что силы Fe и Fm равны, т. е. E = Bv0, и направлены в противоположные стороны (такая скорость при данных E и В всегда может быть найдена), то сумма сил, действующих на электрон, равна нулю. Электрон движется при этом равномерно и прямолинейно.
Пусть скорость электрона v отлична от v0. Рассмотрим поведение электрона в системе отсчета, движущейся поступательно со скоростью v0. Представим силу Лоренца, действующую на электрон, в виде суммы двух сил: F^1 = F0 + F, где F0 = Bev0, F = = Be |v — v0|, причем обе силы F0 и F перпендикулярны вектору В и векторам v0 HV — V0 соответственно. Отметим, что скорость V — V0 есть скорость движения электрона относительно выбранной системы отсчета, a |v —V01 есть длина вектора v —V0.
При этом сумма действующих на электрон сил равна F. Так как эта сила постоянна по величине и направлена перпендикулярно вектору V — V0, то электрон в выбранной системе отсчета движется по окружности, радиус которой может быть найден из второго закона Ньютона
Zte IV — V01 = (m/R) IV — V0 |а,
где т — масса электрона. Движение по окружности равномерное.
1581 Таким образом, относительно наблюдателя, связанного с неподвижной системой отсчета, электрон участвует в двух движениях: поступательном со скоростью V0 и равномерном движении по окружности R = (т/Ве) |v —V01 со скоростью |v —V01.
