Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
В сосуд с водой опускают стеклянный капилляр радиусом R (см. рис. а). Температурный ход коэффициента поверхностного натяжения показан на рис. б.
В каком диапазоне температур вся вода вытечет из сосуда? Для вычислений принять, что R = 0,1 мм, h = 14,1 см, H = 15 см.
F^ ApnR* = 2яR2O/d = 2ma/pd2 = 1,5-104 H
для а-= 76-Ю-3 Н/м.
ЗАДАЧА 87
ЗАДАЧА 88
а
U
О'ф/м' 7Є
7О
з:
20
30 T0C
К задаче 88.
120
/ РЕШЕНИЕ
Известно, что если поверхность жидкости искривлена, то из-за наличия сил, связанных с поверхностным натяжением, возникает разность давлений по обе стороны от поверхности.
Будем считать, что капилляр. полностью смачивается водой, так что поверхность воды в капиллярной трубке является сферической с радиусом R.
Для того чтобы вода начала вытекать из сосуда, необходимо прежде всего, чтобы избыточное давление над мениском было способно поднять воду в правом колене капилляра до его горизонтального участка, т. е. чтобы Ар = 2o/R ^ рgh. Если это условие выполняется, то вода проникает в левое колено и достигает его конца. Под действием силы гидростатического давления на левом конце образуется выпуклый мениск, который мы также будем считать сферическим с радиусом R.
Капли воды будут отрываться от капилляра только в том случае, если избыточное давление под мениском меньше гидростатического, т. е. если 2o/R < pgH.
Последнее неравенство написано для наихудшего случая, когда почти вся вода из сосуда уже вытекла и, значит, гидростатическое давление имеет наименьшую величину.
Следовательно, если pgRh/2 ^ о < pgRH/2, то сосуд опорожняется.
Из заданного графика найдем зависимость величины о от температуры:
о (T) = (76-0,1571 °С) IO-3 Н/м.
Исключая из двух последних выражений величину о, приходим к неравенству для температуры, при выполнении которого удовлетворяются условия задачи
а (0,076 - pgRH/2) < T °С ^ а (0,076 - pgRk/2),
где а = 1,67-IO4 град-Н/м.
Таким образом, искомый диапазон температур определяется неравенством 16,7° < T ^ 46,7°.
ЗАДАЧА 89
Предлагается еще один проект вечного двигателя. Допустим, что под колоколом, где находится сосуд с жидкостью, отсутствует воздух. В сосуд опущен вертикальный капилляр, который смачивается жидкостью. Жидкость поднялась в капилляре на высоту h над ее уровнем в сосуде. Над поверхностью жидкости в капилляре находится насыщенный пар, давление которого совпадает с давлением пара р0 у поверхности жидкости в сосуде. В то же время давление вне капилляра на высоте h меньше, чем давление р0, на величину давления столба пара высотою h — это следует из закона Паскаля. Этот перепад приводит к „отсосу" пара
121 из верхнего конца капилляра, жидкость в капилляре постоянно испаряется и конденсируется у поверхности жидкости в сосуде. При этом в капилляре существует постоянный ТОК ЖИДКОСТИ, который можно использовать для совершения полезной работы.
Где ошибка в этих рассуждениях?
РЕШЕНИЕ
Поверхность жидкости в капилляре искривлена, а в приведенных выше рассуждениях предполагалось, что давление насыщенного пара не зависит от кривизны поверхности жидкости, над которой этот пар находится, что не соответствует действительности.
ЗАДАЧА 90
Зависит ли давление насыщенного пара от кривизны свободной поверхности жидкости и если зависит, то каким образом?
РЕШЕНИЕ
При достижении парами состояния насыщения между жидкостью и паром устанавливается динамическое равновесие: количество молекул, вылетающих из жидкости через площадку AS ее поверхности, равно количеству молекул, возвращающихся в жидкость через эту площадку.
Рассмотрим малый объем пара А У, расположенный на одинаковой высоте над вогнутой, плоской и выпуклой поверхностями
жидкости (рис. а). Если площадки малы^высота мала, то можно считать, что из молекул, покидающих жидкость через указанные поверхности, все, имеющие скорости, направленные в пределах угла Q, попадут в объем ДУ. Так как S1 S2 < S3, от плоской поверхности таких молекул прилетит больше, чем от выпуклой, но меньше, чем от вогнутой.
Если считать, что количество вылетающих из жидкости молекул слабо зависит от кривизны поверхности и одинаково во всех
122 трех случаях, то при одной и той же температуре насыщенный пар над плоской поверхностью должен иметь плотность, большую, чем над вогнутой поверхностью, но меньшую, чем над выпуклой.
Получим этот же результат более строгим способом. Пусть под колоколом, не содержащим воздуха, имеется сосуд с жидкостью и опущенной в нее капиллярной трубкой. Возможные случаи 1—4 изображены на рис. б.
Обозначим разность уровней жидкости в сосуде и капилляре символом h; давление у поверхности жидкости в сосуде — р0 (т. е. давление насыщенного пара над плоской поверхностью), давления вне и внутри жидкости у поверхности мениска в капилляре — P1 и р2 соответственно; рш и рп — плотности жидкости и пара (для пара возьмем среднюю плотность).
Рассмотрим сначала случай 3. В состоянии равновесия должны выполняться следующие равенства в соответствии с законом Паскаля:
