Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Можно показать, что разность давлений по разные стороны от произвольной поверхности жидкости связана с главными радиусами кривизны соотношением
Ap = O(IZjR1-MAR2). (3)
Для сферической поверхности главные радиусы кривизны одинаковы, R1 = R2 = R; при этом формула (3) приводит к выражению (1).
Для цилиндрической поверхности один из радиусов кривизны бесконечен, а второй совпадает с радиусом цилиндра; при этом из (3) следует формула (2).
Для поверхности, имеющей форму седла, один из главных радиусов кривизны имеет отрицательное значение.
* Если суммируются слагаемые, содержащие такие одноименные величины а я А, что I а | | А |, членами, содержащими а2, а3 и т. д., можно пренебречь сравнительно с членами, содержащими а° и а1, См. также примечание к задаче 109,
117 З А Д А Ч А 84
Мыльный пузырь кладут на проволочное кольцо А, а затем покрывают его сверху другим таким же кольцом В (см. рис. а). Если открыть трубку С, то, поскольку давление воздуха внутри пузыря больше наружного, объем пузыря начнет уменьшаться. Какую форму примет пузырь, когда этот процесс закончится?
РЕШЕНИЕ
В состоянии равновесия, если оно существует, давление внутри пузыря не должно отличаться от наружного, а следовательно, участки пузыря, „натянутые" на каждое из колец, должны быть
К задаче 84.
Участок пузыря, находящийся между кольцами А и В, плоским быть не может — он обязательно искривлен. Для того чтобы давление с обеих сторон от поверхности этого участка было одинаково, поверхность должна иметь такую форму, при которой в любой точке главные радиусы кривизны одинаковы по величине и противоположны по знаку. Поверхность приобретает характерную еед-ловую (выпукло-вогнутую) форму (рис. б).
Состояние равновесия устойчиво.
Такой эксперимент нетрудно поставить в домашних условиях.
ЗАДАЧА 85
На концах трубки укреплены две одинаковые конусообразные воронки. Из воронок выдувают пузыри различных радиусов (см. рисунок) и закрывают кран А. Будут ли меняться объемы пузырей, если краны В и С оставить открытыми? Наступит ли состояние равновесия и какую форму при этом примут пузыри?
РЕШЕНИЕ
Очевидно, что состояние равновесия имеет место, когда радиусы поверхностей пузырей равны друг другу: при этом давление воздуха внутри пузырей одинаково.
118 Если в исходном состоянии каждый из пузырей был больше полусферы, то больший пузырь начнет расти, а малый уменьшаться в размерах, пока не станет меньше полусферы, причем такой, что радиусы пузырей окажутся одинаковыми.
Если в исходном положении пузыри были меньше полусферы, то больший по объему пузырь начнет уменьшаться.
Нетрудно убедиться, что состояние равновесия устойчиво.
ЗАДАЧА 86
Известно, что мокрые стекла „слипаются" друг с К задаче 85.
другом: разделить их, да и
то с трудом, можно только сдвигая стекла друг относительно друга.
Капля воды с массой т. = 0,1 г введена между стеклами, находящимися на расстоянии d = IO"4 см друг от друга. Мокрое пятно имеет круглую форму. Вода полностью смачивает стекла.
Какую силу F нужно приложить к стеклам перпендикулярно к их плоскости, чтобы оторвать их друг от друга?
РЕШЕНИЕ
Форма капли, находящейся между стеклами, изображена на рисунке. Нетрудно убедиться в том, что радиус R круглого пятна значительно превышает толщину d капли. Действительно, будем считать в первом приближении, что капля имеет цилиндрическую форму, т. е. V = nR2d, где V — объем капли. С другой стороны, если р — плотность воды, то объем можно найти из
соотношения V= то/р. Следовательно, R = (т./ pnd)1/' = 17,8 см, т. е. R >> d.
Так как стекло полностью
смачивается водой, то поверхность капли в сечении, перпен-
Т|. 0„ дикулярном стеклам, является
К задаче 86. J „
вогнутой с радиусом кривизны
R1 = d/2. Радиус кривизны поверхности капли R2 в сечении, параллельном стеклам, близок к величине R. Следовательно, в выражении Ap = a (HR1 + 1 /R2) (см. задачу 83) для разности давлений вне и внутри капли можно пренебречь величиной 1 /R2 по сравнению с IAfl1.
Таким образом, давление внутри капли меньше, чем давление снаружи. Для того чтобы оторвать стекла друг от друга, нужно
119 действовать на каждое из них силой, большей, чем сила избыточного давления наружного воздуха, т. е.
В сосуд с подвижным поршнем заключен мыльный пузырь радиусом г. Медленным вдвиганием поршня воздух в сосуде сжимают так, что радиус пузыря уменьшается вдвое. Найти давление воздуха вне пузыря в цилиндре в этот момент, если давление воздуха вне пузыря в исходном состоянии равно р.
РЕШЕНИЕ
Будем считать, что сжатие воздуха происходило так медленно, что процесс можно считать изотермическим.
Так как объем пузыря при сжатии уменьшился в восемь раз, давление внутри пузыря в восемь раз возросло. Пусть P1 и р2 — давление внутри пузыря в исходном и конечном состояниях, а р' — искомое давление. Учтем, что разность давлений воздуха по разные стороны от поверхности пузыря вдвое больше соответствующей величины для сферической поверхности жидкости, так как мыльная пленка, образующая пузырь, имеет две поверхности, каждая из которых создает дополнительное давление (см. задачу 83). Поэтому р = P1 — 4а/г, р' = р2 — 8а/г, откуда р' = 8P1 — — 8а/г = 8р + 24 а/г.
