Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
T=-WHdS V*, (8.4) ц={дН1ёЫ)ьР. (8.15)
(eH:cS)pti=idHmldS,0,)^,s=rm=T, (і,HllOMs =
гак
= И|0'=р.
В противоположность этому экстенсивные параметры термодинамике нельзя определять такими же соотношениями, і термодинамике Действительно, так как V=V0iy/' 1 — ?2, ю
f/( Oi
(дН{а
(гн\
Таким образом, дифференциал зкгалі.пии движущегося
6H=ToS+ Z-_dp+(id V
V1-P2
Это дифференциальное уравнение для инвариантной уравнением релятивистской термодинамики.
имеет вид
(8.17)
152 Уравнение (8.17) с помощью преобразования Лежандра можно привести
к друїим независимым переменным, например S, Vi_N. Тогда, вычитая из
обеих частей уравнения (8.17) дифференциал dipVj^/x — р2), получаем
d^//—+ (8.18)
Левая часть этого уравнения представляет собой дифференциал лоренц-инварианта, который в собственной системе отсчета равен внутренней энергии U'0'.
H —= Я <°> - р <01 К<°> - 0'°>
Таким образом, при независимых неременных S, V, N основное уравнение релятивистской термодинамики определяет не t.r(S, V.N), a Ut0) (S, Vi N). Аналої ичио. при независимых переменных Т, V, N, основное уравнение определяет не F(T, V1 ,V), a F'01. Это указывает на ш. чю для релятивистской системы энтальпия, а не внутренняя энергия, является естественным термодинамическим по і епциалом.
Пользуясь основным уравнением релятивистской термодинамики (8.17), можно решить любой вопрос термодинамики движущихся систем.
§ 38. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ РАБОТА И КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ
В собственной системе отсчета элементарная работа термодинамической системы равна /?dklW. Чтобы подсчитать работу системы в движущейся системе отсчета, будем исходиіь из формулы (8.10) для внутренней энергии, предполагая, что термодинамическая система совершат юлько работу, так что бW= — <3U и dt"0'= =-piiV,n\ Тогда
и рабоїа термодинамической
і энергия термодинамической системы изменявіся не юлько при со ы, но и за счет сообщения ей теплоты, то dt/= 6 Q — рdV,0> н с помощью (8 10) и (8 19) находим
-pdvw+d$2pv'0>) | lw= 6g'
-P2 N/l-P
Таким образом получаем выражение для релятивистского количества SO'0'
BQ=-M=, (8.20)
V1-P2
совпадающее с результатом Отта (8.2).
Из формулы (8.19) видно, что выражение для работы термодинамической системы в движущейся системе координат содержит не только слагаемое с pdV, но и с dр. Такой дополнительный вклад в релятивистскую работу обусловлен относительностью одновременное г и. Чтобы в этом убедиіьсн, рассмотрим систему в закрытом цилиндре (длиной / и плошаді.ю сечения 5), коаксиальном с направ-I движения. ГТусть в системе происходит процесс, при котором давление
153 Рис. 25.
Рис. 26.
возрастает от р„ до pv В собственной системе отсчета этот процесс описывается графиком, приведенным на рис 25. В движущейся системе давление на передней I, 2 ч задней 3, 4 стенках иачинает возрастать не одновременно и конечное — —, также достигается в различные моменты времени (рис 26):
Следовательно, работа, совершаемая над системой на задней стенке, не равна работе, совершаемой системой на передней стенке Обусловленная относительностью одновременности передача энергии системе равна заштрихованной на рис. 26 плошали, умноженной на sv. Легко видеть, что эта дополнительная работа приводит к увеличению внутренней энергии системы, равному вычитаемому н выражении (8.19).
<tt-P^ ^ J-^pi J-P^, «*„,
cV'-H2 V7^rI1 '"|3
а этой силы при Iiepe-за время !!/'0V(Cj^1Zl-Pj) релятивистского запаз-1 передней стенке по сравнению с ..................
где P1S=F1 — сила давления; / метении i4./«0,/(cV'-?2) Те;1' дывания изменения давления у иа задней стснкс.
Заметим, что вследствие относительности одновременности ограничивающие систему стенки оказывают на нее нетривиальное влияние. Действительно, при движении сисіемьі в цилиндре задняя его сгенка совершает за 1 с работу psv над системой, такую же работу совершает система па передней стенке Таким образом, через систему вперед протекает энергия, которая возвращается обратно через боковые стенки В результате импульс системы увеличивается, а импульс стенок уменьшается. Импульс, переносимый этим потоком энергии, нетрудно вычислить (см. задачу 8.2):
д g=pV^;(c\ Поэюму для дпижущеіося наблюдите,
U(0'v
/1-
IV+Ag=-
-+Ag=
2I
. импульс системы равен pV,0) _v(U l0l^pV'01)
(8.22)
(8.23)
Неї рудно видеть, что он совпадает с импульсом (8.10). который следует из преобразования 4-вектор,і літальпии-импульса (8.12). Поэтому приведенное рассуждение обосновывает введение 4-всктора (8.12). Из него также видно, что появление рУ,ю в (8.12) обусловлено потоком энергии, возникающим в результате
¦---------- стенок, и связано с относительностью одновременности. Особенно
) в Этом можно убедиться на примере фотонного газа (см. задачу 8.3).
154 § 39. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ И КОЛИЧЕСТВА ТЕПЛОТЫ ПЛАНКА И ОТТА
Получим релятивистские преобразования Планка и Отта для темпера і уры и количества теплоты и обсудим причину их различия.
