Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
_ /S-S0--RIn^X 1 fS-S0\
r=exp(—CV—j-^exi,hr)'
Используя это выражение для внутренней энергии как термодинамического потенциала, можно, наоборот, с помощью формул (5.10) и (5.! 1) найти термическое уравнение состояния идеального газа pV=RT и уравнение его адиабаты рVy=const.
В качесіве первой задачи, решаемой методом термодинамических потенциалов, получим найденное уже методом циклов уравнение для зависимости поверхностного натяжения от температуры, с тем чтобы на этом общем примере убедиться в преимуществе метода термодинамических потенциалов. Результат, конечно, будет одним и гем же, так как та или иная закономерность не зависит от метода изучения, а определяется природой явления.
Будем исходить из выражения для дифференциала поверхностной свободной энергии пленки. Пусть і площадь поверхности пленки (ее внешний параметр а). Так как элементарная работа увеличения поверхности пленки па d? равна SH7=-CrdE, где а—поверхностное натяжение, то обобщенная сила, сопряженная параметру будет A = — и и дифференциал энергии Гельм-гольца для пленки равен dF= — SdT+odl, откуда
J^V (dJL) ,V5^ ^ —
\дТ)т \dTjt \дТ/ь T\dZJT \дт)і T'
что совпадает с выражением (5.3), найденным методом циклов. Получение этого выражения методом термодинамических потенциалов сводится к нахождению лишь дифференциала энергии Гельмгольца пленки и использованию свойств полного дифференциала.
В заключение отметим, что применение термодинамики к решению различных физических задач сильно облегчается использованием свойств якобианов (определителей Якоби). Это связано с тем, что обычные частные производные, а они входят во многие термодинамические соотношения, представляются а виде якобианов.
Приведем свойства часто используемых якобианов второго порядка (с двумя независимыми переменными х, у)\'M-^=
Как следует из этого определения:
2) ,(„.„)=и),
3) J(ku, v) = J(u, kt)=kj(u, ¦);
41
SM fk^'M.ftijfjMi t(.i,y .-(STj-) ,-(r..) «Мг
что позволяеі оперировать с якобианами как с дробями;
— тождество Якоби.
§ 26. ТЕРМОДИШМИЧКСКИК ПОТЕНЦИАЛЫ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ И СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМ ЧИСЛОМ ЧАСТИЦ
Выше мы шип л и, какие функции при тех или иных независимых переменных просі ой сисіемьі являются ее термодинамическими потенциалами. Установим теперь термодинамические потенциалы сложной системы, подверженной действию нескольких внешних сил, и системы с переменным числом частиц.
Будем вначале исходить из основного уравнения термодинамики (3.24) для сложной системы
Из этого уравнения непосредственно получаем, что если состояние сложной системы определяется обобщенными координатами (внешними параметрами я, и энтропией S), то ее термодинамическим потенциалом является внутренняя энерт ия
U(S-U1). дифференциал которой dO' — TdS-
Если состояние системы определяется внешними параметрами а, и температурой T1 то термодинамическим потенциалом
5) J(u. v)j(z, !•) +J(v. z)J(u..,) +J(z, u)J(u, у) = O
TdS=dU+YAtda>-
112является энергия Гель »гольца F=U-TS, дифференциал ко юрой
dF--SdT- JjAidal.
Если состояние системы определяется температурой T и обобщенными силами Ai, сопряженными внешним параметрам аг, то термодинамическим потенциалом системы является (обобщенная) энергия Гиббса
G = U-TS-+ JAia,, (5.37)
дифференциал которой
M=-SdT+ VatdA,.
Если независимыми нарамеїрами системы являются энтропия S и обобщенные силы Ai. ю термодинамическим потенциалом является (обобщенная) энтальпия
H = U+ JAiOi, (5.38)
дифференциал которой
AH=TdS+%а,дЛ,.
Таким образом, в случае сложной системы выражения энергии Гиббса (5.37) и энтальпии (5 38) имеюі по сравнению с соответствующими выражениями этих потенциалов для простой системы дополнительные аддитивные члены вида А,а,. Выражение же для энергий Гельмгольца F= U- TS при переходе к сложной системе не изменяется. Однако если состояние сложной системы определяется переменными Т. р и внешними параметрами а і (кроме объема), то термодинамическим потенциалом, как и в случае простой системы, будет эпергия Гиббса G — U-TS+pV,
дифференциал которой dG= — SdT+ Vdp-?A.da,.
Аналоючно, если p. S и внешние параметры (кроме объема)- -независимые переменные сложной системы, то термодинамическим потенциалом является энтальпия II = U+pV, дифференциал
которой dH- ГdS+ Vdp- ?/l,da,-
До сих пор мы рассматривали системы, которые при взаимодействии с другими телами обмениваются только энергией (закрытые системы или системы с постоянным числом частиц). Однако в термодинамике широко изучаются также системы, в которых число частиц при равновесных процессах изменяется (системы с переменным числом частиц).
113Изменение числа частиц в сисіеме может вызываться различными причинами. Например, в случае равновесной системы, состоящей из жидкости и ее насыщенного пара, при изменении объема всей системы чаешцы из жидкое і и переходят в газ (или наоборот из газа в жидкость), при этом полное число частиц в обеих фазах остается постоянным, но в каждой фазе оно разное. Изменение числа часіиц происходи і іакже в сисіемах, в которых при изменении температуры или других параметров происходя і химические реакции. Третьим примером системы с переменным числом частиц является излучение. Равновесное излучение представляет собой совокупность квантово неразличимых частиц - - фотонов, которые в отличие Ol обычных классических частиц обладают и корпускулярными, и волновыми свойствами. Число эт их часі иц при изменении іемпературь! в результате поглощения и излучения света стенками будет разным.