Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем приступить к решению конкреіньїх физических задач, основываясь на уравнении термодинамики (3.59), рассмотрим некоторые следсівия вгорого начала.
§ 18. ЦИКЛ КАРНО И TEOPFJVfbI КАРНО
Как уже отмечалось, второе начало термодинамики было установлено в результате анализа работы іепловьіх машин.
В первом сочинении по термодинамике, опубликованном С. Карно в 1824 г.. была поставлена и решена проблема возможного повышения коэффициента полезного действия тепловых двигателей. Относительно к.п.д. тепловых машин Карно установил две іеоремьі, которые совместно эквиваленты второму началу термодинамики. Докажем эти теоремы, исходя из второго начала.
Коэффициентом полезного действия т| теплового двигателя называется отношение работы W, производимой машиной за цикл, к количеству теплоты Q1, получаемому машиной за этот цикл:
П= W7 Qv
77 Ti
г
k
ij
т
Т,_2
4 T2 J
А
В
S
S
Рис. 11.
Рис. 12.
По первому началу термодинамики.
где Q2—абсолютное значение количества теплоїы, отдаваемого рабочим телом за цикл, поэтому
где интеграл (?rdS)dS>Cl берется по участкам цикла, на которых d5'>0.
Для графического изображения процессов воспользуемся энтропийной диаграммой на плоскости с осями координат 5, Т. На этой диаграмме величина = ^TdS равна плоіцади
цикла, а ?, = (^TdS)d5XD определяет площадь, ограниченную предельными адиабатами IA и ЗВ. осью абсцисс и элементами цикла с dS>0 (часть кривой цикла 1, 2, 3 на рис. 11).
Вычислим к.п.д. цикла Карно, состоящего из двух изотермических и двух адиабатных процессов. На диаграмме S, T этот цикл изображен на рис. 12. На изотерме 1 —2 теплота Q1 берется от теплоотдатчика, на изотерме 5—4 теплота Q2 отдается теплоприемнику. Эти теплоты и работа за цикл равны:
Отсюда видно, что к.п.д. цикла Карно не зависит от природы рабочего вещества и предельных адиабат, а определяется только температурами теплоотдатчика и теплоприемника (первая теорема Карно). Из формулы (3.60) следует также, что влияние изменения температур T1 и T2 на значение к.п.д. цикла Карно различно:
ч =
jT dS J2,-Q2 (STiS),,,,- Qt •
Q1 = T1(S2-S1), Q2 = T2(S2-S1), W=Q1-Q2=(T1-T2)(S2-S1)
(3.60) Сц - 1 - Ti
CT1 ~ Tf' сТг~ Т~ TV
и так как T1 > T2, то |б'тї/<ЗТ, | <|сгі/дТ2|. Таким образом, изменение температуры теплоотдатчика в меньшей степени влияет на изменение к.п.д. цикла Карно, чем изменение температуры теплоириемника.
Чем ниже температура T1 теплоприемника при данной температуре Г, теплоотдатчика, тем выше к.п.д, цикла Карно. Однако цикл Карно с температурой T2 теплоприемника, равной О К, осуществить невозможно, так как это противоречило бы второму началу термодинамики (теплота Q1, взятая у нагревателя, в таком цикле полностью превращалась бы в работу). Невозможность по второму началу цикла Карно с температурой теплоприемника T2=O К выражается не в том, что О К недостижим (этот вопрос не решается вторым началом), а в юм, что такой цикл или нельзя замкнуть, или он вырождается в совокупность двух совпадающих адиабат и изотерм (см. гл. 9). Таким образом, второму началу не противоречит достижение О К, но цикл Карно с температурой теплоприемника T2=OK невозможен.
По этой причине порочны все выводы и доказательства, основывающиеся на использовании и анализе цикла Карно с T2=OK. Например, неверным является встречающееся в некоторых общих курсах физики утверждение о том, что для осуществления полного превращения теплоты в работу с помощью периодически действующей тепловой машины надо было бы располагать холодильником, температура которого равна 0 К, и 41 о, поскольку такого холодильника нет, периодически действующая машина может превращать в работу только часть теплоты. В действительности же даже при наличии холодильника с температурой 0 К вечный двигатель второго рода невозможен, так как при T2=OK цикл Карно вырождается.
Как устанавливает третье начало термодинамики (см. гл. 4), 0 К недостижим и поэтому цикл Карно с температурой холодильника T2=OK осуществить тем более невозможно.
Заметим, что, допуская возможность цикла Карно с температурой холодильника T2=OK, можно прийти к неверному выводу о том, что уже по второму началу изотермический процесс при 0 К одновременно является и адиабатным. В самом деле, предполагая, что цикл Карно с T2=OK осуществим, из формулы (3.60) получаем
Q2=T2QJT1=O,
в то время как из второго начала этот вывод без дополнительных предположений не следует.
Действительно, при элементарном изотермическом изменении какого-либо параметра х по второму началу имеем
79 {bQjhx)T=T(dSjdx)T.
Отсюда видно, что если при Г-*0 К производная (dS/cx)T изменяется по закону (dS/dx)T=c/T, где с=const, то изотермический процесс при температуре Г= О К не будет адиабатным, если же (cS/c!;t)rj0K-»const, то изотермический процесс при температуре T= О К будет адиабатным. Сказать, как изменяется S при различных процессах, когда T-*О К, второе начало ничего не может, и поэтому нельзя утверждать, что уже по второму началу все процессы при О К являются адиабатными. К такому выводу можно прийти или в результаїе неверного предположения о возможности цикла Карно с Tr2 = O К, или при дополнительном предположении, что изменение энтропии IdSidx)г при OK, конечно, хотя и отлично от нуля. В гл. 4 показано, что, по третьему началу, (dSIdx )т_ .ок-*0, поэтому нулевая изотерма совпадает с нулевой изоэн іропой. а следовательно, и с адиабатой.
