Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Второе начало термодинамики устраняет этот недостаток и позволяеі установить термодинамическую шкалу, температура по которой не зависит от термометрическою вещества и поэтому называется абсолютной. В самом деле, поскольку интегрируюший дели і ель ф{?) для элемента теплоты определяется только температурой, он может служить мерой температуры. Температура T= ф (/) и является термодинамической (абсолютной) температурой, поскольку, как мы покажем, числовое значение функции от выбора эмпирической іемнераіурьі не зависит, хоія вид этой функции зависит от выбора эмпирической температуры.
Найдем связь между термодинамической и эмпирической температурами. Пусть эмпирическая температура системы, измеряемая по величине какого-либо параметра некоторого термометрического вещества, равна г, а ее термодинамическая температура T= ф (?). Состояние термометрическот о вещее тва определяется внешним параметром а и эмпирической температурой t или значением термодинамической температуры 7,= ф|г). Тогда для этого вещества по первому началу 5g = d t/+A da.
S Q J^
по второму началу -^=dS и, следовательно,
(ёШдТ^Т+ЦдШсаЬ+А^йа
T
d T+
da.
откуда
о
или
(3.19)
61 Так как T=<p(t), то г = \|/(Г) и + 0ГКУДа
d7"_ (eAISt),dt
Y~{dU/da),+A'
После интегрирования получаем
т_ Г (CAlotU, ^ т , Tn J(<Ю!да),\А~ ' Г0~Є '
T=T0C1r
(3.20)
где T и T0 температуры по термодинамической шкале, соответствующие эмпирическим температурам г и г0.
Из выражения (3.20) видно, что при равновесном переходе системы из одного состояния в другое температура T не может изменить знака: она всегда или положительна, или отрицательна. Доказать положительность или отрицательность термодинамической температуры нельзя. Ее знак определяется дополнительным условием, связанным с определением того, какая температура больше, а какая—меньше; считается, что в случае равновесного сообщения телу теплоты при постоянных внешних параме і pax его теміїераіура увеличивается, т. е. Ca = (SU;dT)a>0 (см. § 2). Такое дополнительное условие приводит к положительной термодинамической температуре (Т> 0) (см. § 28).
Считая (в соответствии с принятым условием*', определяющим, какая температура больше, а какая - - меньше) темпера -туру T положительной, мы приходим к выводу, что обычные системы не могут иметь отрицательных термодинамических температур.
Формулу (3.20) для определения температуры T можно преобразовать. Для эмпирической температуры !, термодинамическая температура Ti = YoexpZ1, откуда
Tl-T0 = Toitxpll-]), (3.21)
где I1
_ Г (dA,'cl)adt
iJ (ди;да), + А'
Разделим выражение (3.20) на (3.21): —-—=
T1 — Го exp I1 -
7-=(7, - T0) exp //(exp Ii -1).
, откуда (3.22)
Это дополнительное условие приводит к формулировке второго начала термодинамики для равновесных процессов в адиабатных системах в виде закона возрастания энтропии (см. § 17)
62 Выберем температурную шкалу такой, чтобы разности между основными точками ^t — ^o = ЮО 0C и T1-To = IOO К соответствовали друг другу. Тогда
T=IOO v . (3.23)
ехр/,-1 v '
Эта формула позволяет найти термодинамическую температуру T по данной эмпирической температуре f, определяемой по какому-либо свойству юго или иного термометрического вещества.
Покажем теперь, что термодинамическая температура T в данном состоянии не зависит от выбора термометрического тела. Пусть состояние некоторой системы характеризуется помимо эмпирической температуры і еще другой эмпирической температурой T=X (г). Термодинамическая температура 0, определяемая с помощью эмпирической температуры т (при той же разности Q1-Q0 = T1-T0 = 100 между основными точками), равна
/= Г {dAiSx).dl _ Г| * J (vU/da),+A J
= Г (дА /ст)„(1т __ Ґі
11 J [fiUlda),+A J
(dA!di)a(dildx)dx _ ' (vVlda),+A
= L
(dV/da), + A II
и, следовательно, Q = T, т. е. температура по термодинамической шкале не зависит от выбора термометрического тела.
Поэтому для вычисления термодинамической температуры по формуле (3.23) в качестве термометрического тела можно взять идеальный газ, находящийся под действием всестороннего давления A= р, a =V. Для идеального газа при постоянном объеме p=po(l+txt), где а=0,003661 К"1 = 1/273,15 К"1, г— температура но шкале Цельсия, (dU/dV), = 0. Интегралы / и I1 в этом случае равны:
/J-M^ J^i=ini±«, Z1 = In J (СиіЗУ),+р J l+af 1 1
1+afj
63 Подставляя / и /, в формулу (3.23), получаем T= 100—-
«(fi-'o)
и так как -I0 = 100 °С, то
Г=1/а+г = 273,15 + /. Абсолютный нуль температуры по шкале Цельсия равен -273,15 °С.
При сделанном нами выборе величины 100 для разности температур Ti-T0, соответсівующих основным точкам, т.е. при выборе градуса Цельсия в качестве единицы температуры, термодинамическая температура совпадает с газовой температурой., измеренной по шкале Кельвина*'. Если пользоваться градусом Реомюра, т. е. положить
-г0 = 80 0R и Г, -T0 = 80 К, то 1/ос=273,15-80/100=218,4 и 7=/+218,4.
Абсолютный нуль температуры по шкале Реомюра равен -218,4 1R.
