Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арнольд В.И. -> "Эргодические проблемы классической механики " -> 25

Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. , Авец А. Эргодические проблемы классической механики — Высшая школа, 1991. — 376 c.
Скачать (прямая ссылка): termodinamika1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 118 >> Следующая


Интегральным уравнением второго начала для равновесных круговых процессов является равенство Клаузиуса

§ 14. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭНТРОПИИ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ

Из принципа адиабатной недостижимости, как мы видели, следует голономность дифференциальной формы bQ, т. е. существование у выражения для равновесного элемента теплоты bQ интегрирующего делителя X (или множителя 1 /X). Покажем, что среди этих интегрирующих делителей X есть такой, который зависит только от температуры [X = <p(i)] и определяет энтропию

-^r=d.S системы, и что числовое значение этой функции от

такого выбора не зависит, хотя вид функции ф {i) связан с выбором эмпирической температуры t.

Существование энтропии. Пусть имеются две подсистемы, находящиеся в тепловом равновесии. Состояние первой подсистемы определяется параметрами ах, ..., а„; !, состояние второй — параметрами , ..., bm; t, состояние всей системы - параметрами Ctl, a„; bj, ..., bm\ t.

*' Для неравновесных процессов работа IV за цикл при одном іенлоисточ-нике может быть отрицательной (см. задачу 3.37).

5 Q

= dS, или SQ-TdS.

(3.7)

г

(3.8)

58 Пус і ь при некотором равновесном процессе всей системе в целом сообщается количество теплоты bQ, которое распределяется по подсистемам в количестве BQi и 5Qi. так чго

5?-Soi+SO2. (3.9)

По доказанному, все эти элементы теплоты голономны, поэтому они могут быть записаны в виде

Sg1 = MCT1, Sg2 = MCT2, Sg = XdCT, (3.10)

где

X1 =Xj (а,, ..., й„; г), X2 = X2^1, ..., Ьт\ /),

X = X(я 1, ..., ап\ bl3 ..., bm; /) (3.10')

— соответствующие интегрирующие делители; Ct1 и ст2—функции состояния первой и второй систем.

Функции Ct1 и Ct2 можно взять в качесіве независимых переменных каждой из этих систем, например вместо параметра «і первой системы и параметра Ьу второй системы, гак что

X1 = X1 (Ct1 ; а2. ..., а„; t), X2 = X2Jct2; Ь2,..., />„,; /),

Х=Х(сті, <J2; о2, ап\ b2,...,bm-, t),

ст = ст(стІ5 ст2; а2, ..., а„; Ь2, bm\ t);

dCT = ^d?+^dCT1+-^-dCT2+ X T^da-+ І ч db^ (ЗЛ1>

Cl OO1 дс2 2<а, Jt= 2 QVk

С другой стороны, подставляя выражение (3.10) в (3.9), получаем

dfT-^da, +yd(T2. (3.12)

Сравнивая формулы (3.11) и (3.12), находим, что до/Oo1 =Х1('Х, до I Sa2 = K2Ik, а коэффициенты при d/, du2. ..., da„; db2, ..., dbm равны нулю. Отсюда, приравнивая смешаппые производные, получаемые из формулы (3.11), находим:

и И = 0, (3.13)
и и )-«. (3.14)
eI 4-І (3.15)
¦=2. л; к = 2, 3, 59 Из формулы (3.13) следуеі, что если в выражения (3.10') входит параметр t, то только в виде одной и той же функции ф(?), так что

X1 = ф (/) • А (стI, Й2, а„);

*2=ф(/)-/И°2.Й2, .-,а-); (3-16)

>.=ф(ї) -/(O1, а2, а2, • ••, <V b2,..., om).

Так как X1 не зависит от bk, a X2—от а;, ю из формул (3.14), (3.15) следует, что X не зависит от а, и />к, X1—от а,, a X2 — от Таким образом, из (3 16) получаем

Х,^ф(()/іМ, А.2 = ф(0'/2М, Х = ф(г)-/(01,аг). (3.17)

Входящие сюда функции Z1(T1), /2(ст2) и /(сть о2) являются произвольными, поскольку, как известно из мат ематики, если имеется хотя бы один интегрирующий делитель X1 дифференциальной формы SQi, такой, что SQZX1=Cla1, произведение X1 на произвольную функцию Vjz(O1) также будет интегрирующим делителем.

Отсюда следует, что среди бесконечного множества иніег-рирующих делителей имеются и такие, для которых произвольные функции /, (CT1 )=/2(02) - 1, т.е. делители, зависящие только ОТ температуры X1 = Х-> = ф (t); при этом интегрирующий дели гель X также равен ф(():

ф(г)=Х = Х1=Х2. (3.18)

Действительно, рассмотрим іри подсисіемьі (рис. 8), находящиеся в тепловом равновесии; согласно доказанному, для каждой пары систем имеем: Х1 = Х2 = ф(/), Х2 = Х3 = ф(?), Х = Х3 = ф(?) и, следовательно, Х,=Х2=Х=ф(?) (X оіносиїся к сисіемам I. 2).

Функция S1, определяемая уравнением называется

энтропией первой системы, а функция S2, определяемая уравие-

502 J о .

нием -f-r=dS2, называется энтропиеи второй системы ф(')

Разделив выражение (3.9) на (3.18), получаем

^L=dSl+dS2=d(Sl + S2)=dS, ф(/) >

где S=Si-FS2—энтропия всей системы, равная сумме энтропии отдельных подсистем. Энтропия, как видно из ее определения, является аддитивной величиной, пропорциональной числу частиц системы.

Таким образом, показано, что среди интегрирующих делителей элемента теплоты bQ имеется такой ф(?), который зависит

60 только от температуры t и одинаков для произвольных систем, находящихся в іепловом равновесии.

Термодинамическая шкала температур. Используемая нами до сих пор эмпирическая температура t определялась по изменению (например, расширению) какого-либо параметра того или иного термометрического вещества (рту і и, спирта и т. д.). Как мы уже отмечали, термометры с различными термометрическими телами, кроме основных точек 0 и 100 °С, будут показывать во всех других условиях разную температуру. Это особенно ясно указывает на произвольность и неудовлетворительность такого определения температуры, как объективной меры интенсивности теплового движения.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed