Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
55 Sg = SHrI SW1CO.
Это неравенство указывает на от чачу системой за никл количества теплоты '6Q за счет произведенной над ней работы. Такой круговой процесс не противоречит второму началу и, следовательно, возможен только при нсстатичсс-ком адиабатном возвращении системы из состояния 2 в І. Действительно, если бы процесс 2—I был равновесным, то весь цикл был бы обратимым, проводя его 8 обратном порядке, получаем формулу (3.4), чю противоречит віорому началу (см задачу 3.37).
Физический смысл принципа адиабаїной недостижимости состой I в утверждении, что у всякой равновесной системы существует некоторая новая функция состояния ст-а(аі. ..., ап\ l), которая при равновесных адиабатных процессах не изменяется [ст(а,, ..., fl„; /)=const при адиабатных процессах]. В этом можно убедиться, исходя из следующих соображений.
Легко заметить, что положение о существовании температуры t у всякой равновесной системы можно сформулировать в виде принципа изотермической недостижимости: около каждого состояния равновесной системы существуют такие состояния, которые недосіижимьі изоіермически (i.e. при условиях, коїда система все время находится в тепловом контакте с термостатом). Действительно, из состояния системы с температурой t=tl нельзя изотермически перевести систему в состояние с температурой t — ti. Аналогично этому, невозможность адиабатпо (т. е. в условиях, когда система теплоизолирована) перевести равновесную систему из состояния / в некоторое состояние 2 означает, что в состоянии 1 система имеет значение некоторой функции состояния ст = a,, а в состоянии 2 — а = O2 , причем эта функция при адиабатных равновесных процессах не изменяется (da=O при Sfi = O).
Установление на основании принципа адиабатной недостижимости существования такой новой функции состояния (т(я,, ..., ап\ t) приводит к тому, что пфаффова форма для элементарного количества іенлоіьі bQ, коюрая, согласно первому началу, не является полным дифференциалом, всегда имеет интегрирующий множитель, т. е. является голономной*'.
Действительно, так как bQ и da являются линейными дифференциальными формами в полных дифференциалах одних и іех же независимых переменных и одновременно обращаются в нуль, то, следовательно, они пропорциональны:
5() = Xda.
Здесь X в общем случае зависит от всех параметров состояния системы: X. = X((I1.....а„\ /}. Поэтому
SQA = der,
*' Пфаффовы формы, имеющие ишеїрируюший множитель, называются гоWiivиными-, не имеющие иніеірируюшею множителя пегоKihoиными
56 т. е. пфаффова форма bQ голономна.
Можно показать (см. § 14), чю среди интегрирующих делителей X дифференциальной формы bQ имеется делитель, зависящий только от температуры: ^=9 (f), причем вид функции ф (п зависит от выбора эмпирической температуры t в данном состоянии, а числовое значение— нет. Поэтому в каждом состоянии системы функция ф (() имеет некоторую абсолютную (не зависящую ог выбора эмпирической температуры) величину. Принимая значение функции ф(?) за меру температуры и обозначая ф (?)
bQjT=dS. (3.5)
Функция S. определяемая дифференциальным уравнением (3.5), называется энтропией, а не зависящая от выбора термометрического вещества температура T—термодинамической температурой.
Йз второго начала следует гакже, чго энтропия S является однозначной функцией состояния. Это означает, чю jbQ/T для любого круювого равновесного процесса равен нулю. Если бы это не выполнялось, т. е. если бы JHiрония была неоднозначной функцией состояния, то можно было бы осуществив вечный двигатель второго рода.
В самом деле, неоднозначность энтропии означает, что две разные адиабаты S1 и S2 могут пересекаться и, следовательно, возможен круговой процесс, изображенный отрезком изотермы 1- -2 и отрезками пересекающихся адиабат 2—3 и 3-І (рис. 7). Если на участке изотермического процесса I—2 такого цикла у термостата берется теплої a Q {Q>0), то, по первому началу, за счет этой теплоты за цикл производится положительная рабоїа W=Q = ^bQ и мы имеем, таким образом, вечный двигатель второго рода.
Невозможность вечного двигателя второго рода приводні к невозможности пересечения адиабат, т. е. к однозначности энтропии. Математически это выражается уравнением
$dS=0 (3.6)
при любом равновесном круговом процессе.
Если рабочее тело, совершающее круювой процесс, все время находится в контакте с термостатом, то за такой цикл, соїласно формулам (3.5) и (3.6),
57 т. е. работа при изотермическом круговом процессе равна нулю*'.
Положение о существовании у всякой термодинамической системы новой однозначной функции состояния — энтропии S, которая при адиабатных равновесных процессах не изменяется, и составляет содержание в і орого начала термодинамики для равновесных процессов.
Математически второе начало термодинамики для равновесных процессов записывается уравнением
Это выражение для элемента количества теплоты имеет такой же вид, как и выражение (1.3) для элементарной работы, причем температура T является интенсивным параметром теплопередачи (термическая обобщенная сила), а энтропия .S1—экстенсивным параметром теплопередачи (обобщенная координата). Сходство выражений для bQ и Ы? обусловлено родственностью природы этих величин: и то и другое выражает энергию, получаемую системой (см. § 5).
