Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
V,(HC, T)- VsIHc7 = (3)
Производные от обеих частей формулы (3) no T и р дают выражения для происходящих при переходе изменений коэффициента теплового расширения а и модуля упругости К. При T= Te и IIe = 0 получаем:
_ і OHeSiie _кї/гнсу
4л ST Sp ' " * 4тг \ dp J
12.10. Для магнетика в поле Я
d G= -SdT-JdH.
(2)
.367 Подставляя сюда для сверхпроводника Ms- — Я/(4тг) и иніеірируя, получаем
Gs(JZ) = G5(O)+ 1/(8л) H2. Вдоль кривой кришческою ноля, где п и термодинамические потенциалы в обоих сосі
G„ = Gs=Gs(0)+^ II], Gn-Gs (0)=
Hc d H1 S"~S'=~4n~dT'
где Ss берется при отсутствии поля. Разность
d TII d2Il T fdllV
AC=C-Cn=T-(Ss-Sn) = —--f+— —- . (2)
1 " dT ' 4л dT2 4n\dl J
При T=Tc напряженность критическою поля Wt =0, и из уравнения (I) получаем Sl = Ss, а из (2)
ьс-Ц'Л Y
4л ^d TJ
При Hl(T) = Hv [1 -(TllTc)2 ] получаем:
12.11. В критической точке
(с>/гпг=0, (I) (S2piSV2)t^ 0. (2)
Id3plSV} )г<0.
Из двух независимых уравнений (1) и (2) однозначно определяются критические параметри Vtp и Tlp. Два уравнения /(Г, К) = 0 и и17, К) = !) являются независимыми, если о (/, ipVr (Т, V) фО.
В проіинном случае одно из двух уравнений есть следствие другого и онн имеют бесконечное множество решений.
В данном случае J-(ZpidV)г-0, <f> = (o1pjcV1)T = (\, поэтому из условия независимости уравнений (1) и (2)
S (SplSV
Л c2picV2)^ G2P /сгр \ V, /') SVcT\vV3Jr
S(v, г ""3 '
находим, что в кри і ической і очке с 3piS Vc Т/0. 12.12. Коэффициент Джоуля—Томсона
<Sp!?T)y
(op/SV), также равна со. Поэтому вначале преобразуем выражение (1). Для этого, используя формулу (2), приведем числитель и знаменатель выражения (I) к ниду
т А'л _Пдр/дт)у [ V WiiVh І \п), ЧрШГ), + T (IpIpV)r _\
с ,с +7-(sA IdA jWar)? Г, с, (КрісПг] \дт)г\гт), (Ipiiri1I T(Cpidi)',]-
Подставляя эти выражения в формулу (1), получаем
Г V(HpIlr)rIftpУ' Г с, (IpIcV)rI-'
L т(PpdT)r}\гт), I т Орігт)';.] ¦
I критическом [Очке
ер/Юг
Таким образом, коэффициент Джоуля — Томсона в критической точке равен величине, обратной угловому коэффициенту кривой давления как функции температуры в эюй ючке Величина (SpjdT)v вблизи критической точки почти не изменяется, a (CVlvp)j расходится быстрее, чем Cv, которая, по последним экспериментальным данным, меняется по степенному закону Cv-IT"- Гц, Г", а= ', 8.
12.13. Скорость звука в низкочастотном пределе
MWV)
где M - молярная масса
По результатам измерений (cp'8V)b приближается к нулю при t->Ttf. Поэтому скорость звука в критической точке равна нулю
12.14. Поведение изотермической сжимаемости ят в окрестности критической точки (при 7"> Tk) определяется кри гическим индексов у.
(dv\
Вычислим производную — для газа Ван-дер-Ваа.пьса при V=Vt и 7"> Tk:
P=Im-TTz' ^
(V-b)2^ Vу
It Ab2 Ab2 — (T-Ti)"1, следовательно. Y=I. 13.1. Выделим в неравномерно нагретом теле некоторый объем. При попущении локального равновесия и отсутствии потока частиц основное уравнение термодинамики необратимых процессов для рассматриваемою объема принимает вид
8Q_dC/ dl ~ ilt
Если I—плотность потока теплоты, то энергия в данном объеме может изменяться только за счет притока теплоты извне через поверхность 2, ограничивающую выделенный объем, поэюму
Bq
и количество теплоты, сообщенное элементу объема, —dV= — divldf, отсюда
dl
dj 1
— d у---divido
dl T
t изменение энтропии системы
—=- -divIdF, dt J T
«ли
^= -JdivIdK+ J ^I, grad ^JdF=
= -<j>? dE- Jp, (і 1Тг]grad Г]dK
"ДЄ —/,dl — количество теплоты, которое в 1 с входит в систему через »лемент поверхности. Учитывая, что I=-XgradT, получаем
MWfOv
Здесь первое слагаемое определяет измекевме энтропии системы за счет тритекающей в нее теплоты. Эта величина и стоит в правой части неравенства Клаузиуса классической термодинамики. Второе слаїаемое представляет собой вменение энтропии, вызванное необратимостью процесса теплопроводности ікутри выделенного объема. Так как этот член всеїда положителен, то выражение 1), а также общее выражение (13.6) не противоречит неравенству Клаузиуса
13.2, Когда при тепловом контакте двух тел одно с температурой T получает соличество теплоты Q, а другое тело с температурой Т+ДТ отдает эту теплоту, го суммарное изменение энтропии (при малом ДТ)
.170 Если за интервал времени d/ произошел обмен теплотой в объеме V=F-Ax (F—площадь соприкосновения тел), то скорость возникновения энтропии в единице объема
Id 1 OQ 1 AT 1
а---(Д5)--------L — grad .T=IxX,
V6t F dt T1 Ax T2
где I1—составляющая по оси х плотность потока теплоты, = —(1/T2JgradrT— соответствующая этому потоку сила.
В общем случае теплообмена
ст= -у2 (I, grad Ti=IlIl X1 -і X І,х,
13.3. Если в цепи з. д с. S протекаеі ток силой /, то по закону Джоуля—Ленпа в ней выделяется в единицу времени количество теплоты Q = SL а в единице объема контура (в общем случае и не однородного) в единицу времени выделяется теплота
4 = - (j. grad ф),
іде j—шюіность і ока; і|>—потенісиал электрического поля. В стационарном состоянии, кот да температура контура поддерживается постоянной, электрическая энергия полностью передается в виде теплоты окружающей срсдс. Поэтому скорость возникновения энтропии в контуре
