Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
10.19, При адиабатном расширении системы без совершения работы ее внутренняя энергия не изменяется. Поэтому U=GT1I'= oTi( V+ Vi). откуда TlTi=Xf(VTV^)JV. Ilo S= 4а Г3 !'/3-467(37). S1 -40 '(37,), поэтому
10.20, Закон Стефана—Больцмана и = <тТл и выражение р-и!Ъ справедливы и в гравитационном поле. Вместе с тем верно также, что давление и плотность излучения на нижнем уровне больше, чем на верхнем. Дело в і ом, что коэффициент о в законе Сгефана—Больцмана зависит от скорости света в вакууме, а она не постоянна в гравитационном поле.
10.21. Излучения от разных тел, впущенные в полость с белыми сіеклами. находится в термодинамическом равновесии, хотя температуры различных лучей разные Эю равновесие не является устойчивым, іак как не обладает максимумом энтропии. Но если в полость внести пылинку, то получается равновесное излучение, соответствующее устойчивому равновесию с одной и той же температурой для всех лучей
Устойчивое равновесие между излучениями различных частот наступает при максимуме энтропии
если энергия (или плотность энергии) u = ji/(v)dv остае і ся постоянной Di о
означает, что при переходе возможно малой энергии от излучения оіной частоты к излучению другой частоты вариация энтропии OS=0 при он=0, т.е.
Умножая последнее равенство на множщеть Лаіранжа (—С) и складывая с первым равенством, получим
SiJS=TlTi и sjs-%f{v+T\yv.
S=?S(v)dv,
(1)
при 5и= J 5i<(v)dv = 0
.358 Ввиду независимости отдельных монохроматических ірупп лучей друг от Jnpyra подынтегральное выражение равно нулю и, следовательно, dS(v)jdu(v)=C.
Величина С имеет для каждого черного излучения определенное значение, одно и го же для всех частот. Отсюда следует, что она может быть только функцией температуры и, как мы сейчас покажем, равна 1/Т Действительно, пусть при сообщении полости объемом K-=ICM3 = CODSt некоторого количества теплоты температура излучения стала T+dT. Тогда энтропия S изменилась на
— dr=- --dT, так как TdS=du (при K=const). Но из уравнения (1)
т.е. dS/dr= CdujdT, поэтому С-=\/Т
Таким образом, равновесное излучение, которое устанавливается в пс-лости после внесения пылинки, представляет собой систему лучей в устой?ивом равновесии с одной и той же температурой—температурой пылинки или сгснок.
10.22. Предположим противное, пусть после равновесного адиабатного расширения от плотности U1 до плотности и і излучение перестало быть чефиым по спектральному составу. Так как излучение -система, которая находится в устойчивом равновесии, то. если излучение Ui привести в соприкосновение с телом температуры T2, с которым оно будет находиться в равновесии (т. е. общая знеріия излучения нс изменится), излучение с течением времени будет черным Система без изменения полной энергии перейдет в устойчивое равновесие, что связано с ростом энтропии. Следовательно, энтропия черного излучения с плотностью должна быть больше энтропии черною излучения начального
ОТСТОЯНИЯ С ПЛОТНОСТЬЮ Н|.
Рассмотрим теперь обратный процесс адиабатною сжатия до начальной ШІ0ТН0С1И U1. Энтропия излучения при этом не изменится, но излучение, по нашему предположению, обладает другим составом, чем черное излучение при начальной температуре T1. В то же время энтропия его больше энтропии черного излучения при гой же энергии. При соприкосновении с телом Tx это излучение станет черным, соответствующим устойчивому равновесию, однако этот процесс перехода в устойчивое равновесие должен быть связан с уменьшением энтропии без всякой компеясапии, т. с. без изменения в окружающих Гелах, что противоречит второму началу.
Таким образом, адиабатный процесс с черным излучением переводив его снова в черное излучение другой температуры
10.23. Полная плотность энтропии равновесного излучения равна
Если в интеграле перейти к новой переменной интегрирования х полагая \' — хТ, то множитель T1 перед интегралом по х будет только при структурной формуле
dT- TdT
для спектральной плотности энтропии в виде sv(v, Г) = у2<р(дг)=У2ф
I. так как
!=J ?vdv=r3 j" х2ф (д:)d*.
.359 10.24. Для равновесного излучения
U=GT4V и P = OTi,?,, поэтому Cy=AaTiV и удельная теплоемкость при постоянном объеме су=4о7"*=30,56-10"167"3 Дж/(К-м2). Так как для излучения изобарный процесс одновременно является и о Cp=C7=iX. поскольку изотермическая Эю иіедуеі іакже из соотношения
поскольку давление из іучения не зависит от объема Поэтому -/ = CpICl = OO, Cp-Cv = X Энергия моля одноатомного газа
t =1I2RT.
молярная теплоемкость
Cy = 1 j R,
удельная теплоемкость
_ЗД
Су~ 2У~ 2 • 22.4 • 10 ; Таким образом.
er<'rvto* = 5.6-10"'8 T1 При обычной темпераіуре (~300 К) отношение іеплоемкостей чрезвычайно мало. Сравнимыми эти величины сіановятся при 7"? IO6 К
10.25. Внутренняя энергия Ь плазмы складывается из кинетической энергии хаотического движения частиц Ъ'нл (внутренняя энергия идеальней о газа) и средней энергии их электростатического вз а и v» о действия Ue: U -- Сил + Ue
Здесь Uxa = CvT, Cf = ^p1HV
где ф, потенциал ноля, сознаваемого в месте нахождения /-го заряда всеми остальными зарядами.
