Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
6.14. Выберем в качестве независимых переменных однородной системы параметры Vh S. Тогда p=p(V,S), T=T{V,S) и при S=Const из неравенства ATAS-ДрДГ>0 для матрицы устойчивости получаем
Если в некотором состоянии (SpIdV)s = О, то условиями устойчивости этого
(d2pldV2)s = 0 и (fV^lsC0-
6.15. Для решения задачи рассмотрим следующий изоіермический цикл, протекающий при неизменном объеме. Пусть система находится в равновесном состоянии ^o Включим бесконечно медленно такое силовое поле V, что система приобретает состояние х. Этот пропесс обратимый и при наличии дополнительного силового поля U состояние * равновесное. Работа системы при этом процессе
Выключим мгновенно поле U. При этом совершается работа W1 = О, а система без поля оказывается в неравновесном состоянии. Постепенно и без совершения работы (K=Const) она придет в состояние равновесия х0 Так как вечный двигатель второго рода невозможен, то работа за цикл не можеі бьиь положительной, т. е.
W+ ^, = ^)-^)+(.^0,
откуда
F(x) = <(r(х)-Г/>ф(Ao)-F(C0)1 F{»)> / N
.346 что выражает общее условие равновесия системы в термостате при постоянном объеме.
7.1. Поскольку переход от положительной термодинамической температуры к отрицательной осуществляется не через О К, а через бесконечную температуру, то разность между положительной и отрицательной температурами всегда бесконечна. Это указывает на неудовлетворительность существующей термодинамической шкалы и на необходимость перехода к шкале T=-I11T, которая не обладает отмеченным недостатком.
7.2. Из основного уравнения термодинамики находим
T={CUIdS\a. (1)
Принимая это равенство за определение термодинамической температуры, мы видим, что если внутренняя энергия системы в некоторой области состояний может быть такой, что частная производная по энтропии (1) оказывается отрицательной, то соответствующее состояние будет состоянием с отрицательной температурой.
В обычных системах не существует верхнею предела для значений зпері ии и функция {/(S) монотонно возрастает, так что температура T всегда положительна (рис. 67, кривая /). Однако у некоторых (необычных) систем энергия ограничена сверху, поэтому для этих систем
Vitas <
Поскольку необычные сисіемьі могут иметь как положительную, так и от-рицаіеиьную температуру, то функция CZ(S) монотонно возрастает лишь до некоторого значения энергии U0, в которой энтропия достигает максимальною значения S= Sm3ic. При дальнейшем увеличении энергии производная (3U!5S)a будеї отрицательной (Г<0 К. кривая 2).
8.1. Преобразования Лоренца для давления можно получить исходя из определения давления, зная закон преобразования силы, действующей на поверхность тела, движущегося вдоль оси:
Fx-F0. F, = F°sj\-$2- F,=F°sJI-P2
Так как поверхность, перпендикулярная оси X, не испытывает сокращения Лоренца, а поверхности, перпендикулярные двум другим осям, сокращаются в отношении ч/1 — ?2. ю P=Pa-
Этот результат является частным случаем релятивистских преобразований компонент напряжений, когда они сводятся к нормальпому давлению: P=^=Ivy = I11, гу=0
8.2. В релятивистской термодинамике стенки, отраничивающие систему, играют существенную роль. Рассмотрим систему в цилиндре с площадью 5 торцовой стенки, коаксиальном с направлением движения. Пусть система движется со скоростью е относительно наблюдателя. Если давление внутри системы р, то задняя стенка цилиндра совершает за 1 с работу psv над системой, а система—такую же работу на передней стснкс Следовательно, энергия
12* 347 протекает через систему вперед, возвращаясь обратно через боковые стенки, Этот поток энергии вперед через систему и обратный поток через стенки увеличивает импульс системы и уменьшает импульс стенок
Импульс, переносимый этим потоком энергии, может быть подечиїан на основе простого мысленного эксперимента, который обнаруживает реальность гакого потока. Допустим, что обе торцовые стенки одновременно в собственной системе цилиндра быстро убираются и мы приходим к «освобожденной» системе В собственной системе отсчета рассматриваемая термодинамическая система будет бурно расширяться, симметрично вперед и назад относительно направления движения. Однако центр масс системы не изменит своего положения относительно центра масс стенок. Но наблюдателю весь этот процесс представляется совсем иначе. Он обнаружит, что задняя стенка удаляется раньше, а передняя стенка — позже, причем время запаздывания
Д tM)+{u'c2)Iw Ыт Д I=-- ¦' - -=-,
где /(0)—длина цилиндра в собственной системе отсчета. Этот наблюдатель установит, что стенки сообщают системе импульс силы—ртДг = і-рК(0|;(с2,/Г—"?2). Тем не менее центры масс стенок и системы, как и раньше, совпадают. Это может быть только в том случае, если система в начальный момент обладает некоторым избытком импульса (тогда как у стенок есть некоторая нехватка импульса), который в точности компенсируется импульсом, передаваемым в течение промежутка времени Al. Этот избыток импульса Д,?=р VwJc2 1 — ?".
8.3. Пусть в цилиндре движутся два фотона в разных направлениях и в собственной системе отражаются от переднего и заднего торцов одновременно. По отношению к движущейся системе отсчета отражения этих двух фотонов ее одновременны, а отличаются на промежуток времени Д;=і>/,0,і'(с2у'1 — ?2) В течение этою промежутка оба фотона движутся вперед Избыток импульса Ag фотонов, наблюдаемый относительно движущейся системы отсчета, равен импульсу этих фотонов.
