Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Связь между Ap и вызвавшей ее AT найдем из условия «химического равновесия» гелия в сосудах, которое устанавливается в результате «обмена» .^-компонентом. Такое равновесие наступает при равенстве химических потенциалов (которые мы будем относить к 1 г гелия):
иО>ьГ,)-ц(р3, Tj), (I)
где pi, Tt и pi, T2—давление и температура в первом и втором сосудах.
Так как при одинаковых температурах в сосудах давления в них на одной и той же высоте одинаковы, то при небольшой разности температур Ar=Tj-T1 будет малой и разность давлений Ар=р2—рі- Поэтому, разлагая ц(/j2, Г2) по степеням AT и Ар, из условия (1) получаем
или
сАр—sAT=0
(v и 5—объем и энтропия Ir Hell), откуда Ар;AT=Slv, или
Ар; AT=ps, (2)
где р—плотность HeII при данной температуре
Так как ps>0, то Ар/АТ>0 и, следовательно, при АТ>0 разность давлений A1D > 0, т. е. жидкость поднимается в сосуде с более высокой температурой.
ф) Такое рассмотрение Не II является, конечно, как всякое классическое представление квантовых явлений, лишь удобным способом для выражения поведения квантовой жидкости, каковой является Не II. Никакого разделения частиц гелия на «сверхтекучие» и «нормальные» не существует.
.335 Формула (2) была впервые установлена в 1939 г. Г. Лондоном методом циклов, а двумя годами позже она была количественно подтверждена опытами П Л Капицы и получена методом термодинамически* потенциалов Л. Д. Ландау.
Термомеханический эффект допускает обращение, т с. если разность температур в Не II вызывает появление разности давлений, то и разность давлений вызывает соответствующую разность температур- Обращенный термомеханический эффект называется механокалорическим эффектом. В HeII он был исследован в 1939 г., когда было обнаружено, что течение Hell через капилляр от более высокого уровня к более низкому сопровождается появлением разности температур в сосудах (рис. 64).
Количественно зависимость ДT ог Др при мсханокалорическом эффекте определяется тем же соотношением (2), которое мы запишем теперь в виде
ДГ/Др=1/(рі)
Из этой формулы видно. что B нижнем сосуде (с давлением Р2<Рі, где Pi —давление в верхнем сосуде), в который втекает Не II, температура понижается' при Ар=р2 — Pi<Q разность AT=T2-Tj<0 и T2KTi.
Этот результат определяется той же особенностью свободно втекающей через капилляр сверхтекучеі о компонента Не II: энтропия этого компонента равна нулю и, следовательно, она. по третьему началу, «находиться» при температуре О К.
4.7. Содержание іретьего начала определяется не только невырожденностью основного уровня, но и особенностью энергетического спектра макрос ко шгчєск01 о тела при малых возбуждениях. Действительно, если связать третье начало только с отсутствием вырождения основного состояния, то свойства тел. определяемые третьим началом, начали бы обнаруживаться лишь при очень низкой температуре /, определяемой из условия T< T1 =E, /к, где E1 - - первый энергетический уровень і ела Для кристалла в форме куба со стороной 1см T1 * 10 sK, в то время как и из эксперимента и из теории твердого тела известно, что іетілоемкость кристаллов мала при температуре, меньшей дебаевской (десятки кельвин). Это означает, что при учете лишь невырожденности основного состояния действие третьего начала должно было бы сказываться при температурах примерно BlOs раз более низких, чем обнаруживается на опыте. Таким образом, неправильно связывать третье начало только с отсутствием вырождения основного уровня, необходим учет особенности энергетического спектра при малых возбуждениях
5.1. Рассмотрим цикл Карно, R котором рабочим телом является система из жидкости и насыщенного пара. Изобразим л от цикл на диаграмме V, р (рис. 65). На участке 1—2 система изотермически (при температуре Т)
L_' 2
ПХ. расширяется, при этом единица массы жидкости переходит в нар; давление не изменяется Взятое у нагревателя количество теплоты равно Q1 =X. При адиабатном расширении 2—3 температура и давление падают соответственно на AT и 6р. При изотермическом сжатии 3 4 холодильнику отдается теплота Q2, а при адиабатном сжатии 4—1 температура повышается до Т.
Работа за никл равна Qi —Qi = (V2-V1)Ap. где V2 и V1 —удельные объемы пара и жидхости Поэтому
iHGi-?z>/Oi = [(bi
T-(T-AT) ііТ V2-V, AT
Но для цикла Карно Г| --- T И' слеловательно- ——d/i = —.
Таким образом, получаем уравнение Клапейрона— Клаузиуса
лр і.
d T Tfv, »,)¦
5.2. Проведем с обратимым і альвацическнм элементом цикл Карно, заставляя его работать сначала изотермичесхи, потом адиабатно. а затем, пропуская через него ток oi внешнего источника, совершим над ним работу также изотермически и адиабатно
На диаграмме с осями е (заряд, прошедший череї элемент) и S (э. д. с. элемента) цикл будет иметь указанный на рис. 66 вид. Количесіво теплоты, взятое у натревателя, на изотерме 1--2 Пуле і Q1 = U1-U1 \ IV, где изотермическая работа W=e$
Изменение внутренней міеріии U1-U2 равно тепловому эффекту химической реакции в элемент е (если бы элемент не производил работу): U2 -U1-- це \q—тепловой тффект. отнесенный к прошедшему заряду), так что Q,=eS—qe. При адиабатной работе 2—3 э. д. с. элемента уменьшится на A<f. изменится и температура. Пропуская потом ток через элемент от внешнего источника, завершим этот цикл Карго Работа за цикл равна плошали цикла eAS. поэтому
