Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
3.37. По второму началу термодинамики, из однозначности энтропии следует, что при равновесном изотермическом круговом процессе (т. е. при одном термостате) работа за цикл равна нулю. Однако если использовать в цикле неравновесный процесс, то
Рис. 60.
A1S=S1-S4-Ct. In(TuT2)+R In(Fll-K4). Так как, согласно полученным формулам для Q.
V4'
.329 го
QQ T1 V3 AS=-^rI ?-+Су Ia-J--Rln-^. T1 T2 T2 V2
Состояния 2 a S лежат на одной адиабате, поэтому
іак как Ск-A,(y-I)=O
Таким образом, изменение энтропии при кратковременном іепловом контакте двух тел разной температуры, равное сумме изменений энтропий этих тел.
Отсюда, однако, не следует, что AS1 = -QiT1 и ДS2 = Q11T2, как это принимается обычно во многих учебниках по термодинамике при выводе формулы (1), поскольку эги равенства справедливы только при равновесном теплообмене.
Формула (1), очевидно, будет иметь тот же вид и при AS1 = -?/Г, —а, AS2 = Q1T2 + а, где
Для вычисления изменения энтропии каждого тела при неравновесном теплообмене надо знать их начальные и конечные состояния.
3.39. По второму началу, для неравновесных процессов
Отсюда видно, что состояние, достижимое иэ данного, адиабатно равновесно (5^=0), недостижимое—адиабатно неравновесно (8?ap=0), так как в этом случае 6?ip—50=0. Поэтому если система переходит из состояния I в 2 адиабатно равновесно, совершая работу SW12 = -dt/, то адиабатный неравновесный переход системы из состояния I возможен лишь в некоторое состояние 3, не совпадающее с состоянием 2\ при этом вполне возможно, что (5И^із)вд= - dC/ и, следовательно, Slf12=(Slf1J)w. однако это не противоречит выводу из второго начала Sifi j >(S (f)2 Jhp .
3.40. По принципу Больцмана S=/((f). Если система состоит из даух частей, то Si=Z(If1), S2=Z(If2) и на основании аддитивности энтропии S=S1 +S2=ZjW1)
+f{Wl)=r(w).
Для независимых систем If-If1 IV2, поэтому для определения f(W) получаем функциональное уравнение
О)
SCbp-SS=SHV-S^O,
f[W,)+f(W2)=f (W1W2), дифференцируя которое по W1 и W2 находим:
Г (W1)^f (W1W2)W2 f(w2)=f(W, *V2)W,,
откуда
f [WiYJ'(W2)=W2: Wu Wif (Wl)=Wtf (If2)=Zc.
где к—постоянная величина.
После итерирования этого уравнения получаем соотношение S=Aln W,
которое часто называют принципом Больцмана.
.330 Постоянная к определяется применением полученного уравнения к какому-нибудь частному случаю, например к идеальному газу: она оказывается равной постоянной Больцмана (к = \,38 IQ"23 Дж/К).
3.41. Общая энтропия обоих тел изменится на
AS—!---L=I-IO-H ДЖ/К
300 301 9
Согласно прииципу Больцмана, AS-к In(W2 < Wi), где Pf1 вероятность начальною состояния обоих і ел, W2— вероятность в рассматриваемом процессе; поэтому
т. с. вероятность второго состояния в невообразимо большое число раз превышает вероятноеіь первої о состояния и при соприкосновении теплота переходит от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой практически во вссх случаях. Из W2,1 ИЛ«IOOO10 случаев в среднем один раз іеплота переходит от тела с меньшей температурой к телу с большей температурой. Мы видим, что практически вероятность перехода теплоты, требуемая термодинамикой, не отличается от достоверности
Однако результат будет штой при переходе значительно меньшею количества теплоты, чем 10"7Дж В случае AQ= 1,2 • 10~16 Дж получаем W2' If1 =е—2,7. т. с. переход такого количества теплоты от холодного тела к горячему хотя и будет осуществляться более редко, чем обратный переход, однако частоты этих переходов одного порядка.
3.42. По условию, в состояниях 1 и 2 давления pi=p2 — 2p, a r состояниях 3 и 4 рг =Pt=P- Рабочее тело получает теплоту при изобарном процессе 1—2, а отдаст—при изобарном процессе 3—4. Поэтому
Qi-Cf(T1-Tl), Q2=Cp(T3-Ti),
Q1-Q2 T3-Ti
^ТГ-'-м'
Ііри адиабатном процессе Tp * =const, следовательно,
TiJr-TiteyT, TiPiT= Т,(2/>)Ч
откуда i ^
?--0)' H Л-l-Q)'.
Описанный в задаче результат обусловлен тем, что для идеального газа количество теплоты Q при изобарном процессе пропорционально совершенной работе W, поэтому, хотя Q^W. отношения Q2IQi и W2j! IV1 одинаковы. Действительно, Qi^Cp(Tz-Tl), Wi =Ip(Vi-Vi). Но 2pV2=RT2, IpVl=RTl:
Wi=R(T2-Ti), Ql=-Zwi, Q2 = -^W2,
.331 3.43. Такой вывод ошибочен. Дело в том, что живой организм—неравновесная, открытая система и в соответствии со вторым началом термодинамики его упорядоченность поддерживается оттоком энтропии в окружающую среду. Если изолировать организм вместе с веществами, необходимыми для его существования, то в этой изолированной системе этропия будет возрастать.
3.44. Покажем, что на последнем этапе вюрого пуіи, когда с помощью света вызывается реакция между II2 и Cl2 в смеси с молем HCl и вся смссь переходит в два моля HCl, изменение энтропии равно — q!(2T)—2R In 2, а не -?/(2''')
Поскольку все процессы изотермические, то для вычисления изменения энтропии при этих процессах можно исходить только из конфигурационной части энтропии идеального газа, которая для моля равна S-R In (И/ jV)
