Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
.315
(3)
Это соотношение указывает на пределы изменения энтропии в процессе Гей-Люссака при непрерывном изменении давлений P1 и рг смешивающихся порций одного и того же газа с заданным общим числом частиц 2N и, как совершенно очевидно, никакого отношения к парадоксу Гиббса не имеет.
Обе порции газа в данном примере состоят из одних и тех же частиц, но отличаются друг от друга внутренним параметром давлением р- При всех значениях параметра близости порций газа
„Jftzfil,
Pi +Рг
изменяющегося от 0 до 1, смеси этих порций неразделимы и, следовательно, случай с T^=O не обладает физической особенностью но сравнению с любыми другими случаями со сколь угодно малым значением Л-
3.30. Газы А и В представляют собой однородные смеси из частиц CnD различных газов: газ А содержит Ar1 = Nxl частиц газа С и Л", =Nx1 частиц іаза D, а газ B-N2=Ny1 частиц С и Ni2 = Ny2 частиц D(x] + r2=>,+>'2= 1) В качестве непрерывного параметра, характсризуюшего степень близости таких смесей, выберем величину t|=lxi— >'il = l-4 — v"j 1- При Ti=O (xt=yv х2=у2) обе смеси AaB абсодюіно одинаковы, а при г) = 1 , V1 =х2у2 -0) мы имеем дело с двумя предельно различимыми газами С и D. До удаления перегородки между газами А и В энтропия системы по теореме Гиббса равна сумме энтропий, отдельно занимающих объем V четырех порций чистых газов из V, ,V1, Л'2, N'i часіиц соответственно. После удаления перегородки энтропия системы равна сумме энтропий газов CnD, когда каждый из них занимает объем 2 К, т. е. сумме энтропии Sn, вычисленной по формуле (1) предыдушей задачи, всего газа сорта С из .V, і N2 частиц (получающеюся в результат изотермического необратимого процесса диффузии частиц сорта С при различной начальной концентрации их в газах А и В) и энтропии SJj всего сорта D из Л' і +A2 частиц (получающегося в резуль і a ie изотермического необратимого процесса диффузии частиц этого сорта). Изменение энтропии газа С при изотермической диффузии его частей, согласно формуле (2) предыдущей задачи, равно
AS0=Zr ?.VJn[,Vi/W+Л'г)] + ^! +'VjjIn2,
а изменение энтропии при изотермической диффузии порций газа D
AS' =к ? jV;ln [Л'і,'I-V1 + N12 )] + А"(.V', + .V'/)In 2.
Согласно формуле (3) предыдушей задачи, AS0 и AS' изменяются в интервалах 0? AS0 ^k (N1 +jV2)ln2, 0<ДУ«Л(.У', + Л"2)1П2, поэтому увеличение энтропии AS= AS0+AS' всей системы, образовавшейся после диффузии смесей А и В, изменяется в зависимости от ті (или числа часіиц каждого сорта) в интервале
OjsAS^k1Vln 2, (1)
поскольку N1 I N2 + N': + N'2 = 2N-
Выражение (1) совпадает с формулой (3) предыдущей задачи Как и в предыдушей задаче, интервал изменения эшропии (1) при смешении газов А и В обус-
316 ловле» процессом Гей-Люссака каждого сорта чаегнц CaD при изменении их концентраций в смесях А и By и поэтому выражение (1), подобно (3) предыдущей задачи, к парадоксу Гиббса отношения не имеет. Это видно также из того, что смесь газов А и В, как и в случае смеси двух порций одного и того же газа, невозможно разделить ни при их тождественности (.Vl-Ar2=O, Wl-JVi = O), ни при их различии (Ar1-,V2^O, Л", -Vi^O). Поэтому теорема Гиббса к і азам AuB неприменима и энтропию смеси этих газов нельзя вычислят ь по теореме Гиббса для смеси разных газов А к В.
IIa основе результата (1) для интервала изменения AS при смешении газов А и В некоторые авторы приходят к выводу об отсутствии парадокса Гиббса и считают, что при непрерывном изменении параметра различия газов изменение энтропии AS при диффузии газов изменяется непрерывно.
Этот вьі в од, однако, неправилен, поскольку, как показано выше, результат (1), подобно (3) предыдущей задачи, обусловлен процессом Гей-Люссака (смешения двух порций одною и того же газа разной концентрации) и не имеет отношения к парадоксу Гиббса. В рассматриваемом случае смеси газов А и В, как и в случае смсси двух порций одного и того же газа, отсутствует само физическое основание парадокса Гиббса — особенность не разделимости смеси газов А и В только при их тождественности (когда параметр различия т}=0), поскольку ее нельзя разделить и при сколь угодно малом различии газов А и В.
Проведенное рассмотрение смешения газов приводит к установлению сущест-воватіїм двух совершенно различных видов изотермического смешения идеальных газов. К первому виду относится такое смешение двух порций по N частиц, при котором изменение энтропии совершенно не зависит от различия газов (теорема Гиббса) и равно
AS=2kN\a2. (2)
Получаемую при этом смесь можно разделить (с помощью полупроницаемых перегородок или внешних полей) на порции смешиваемых газов.
При втором виде смешения порций газов получаемую смесь принципиально нельзя разделить на смешиваемые порции. В отличие от первого вида смешкам во втором виде изменение энтропии при смешении (энтропии смешения) зависит от степени различия свойств смешиваемых газов, изменяясь в интервале {]). Второй вид смешения был известен значительно раньше, чем петэвый Он имеет место в процессе адиабатного расширения газа (смесей газов) в область с тем же газом (смесью тех же тазов) меньшею давления, но одинаковой с ним темпераJурой (процесс Гей-Люссака). Получаемую при этом смесь невозможно разделить на иервоначальїіьіе порции, а энтропня AS смешения непрерывно изменятся в интервале (1).
