Эргодические проблемы классической механики - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Так как локальная энтропия s (единицы массы или ps — единицы объема) зависит от термодинамических параметров а, (г, г) іак же, как и при полном равновесии, то при необратимом процессе в адиабатной системе скорость возникновения энтропии в единице объема (производство энтропии) равна
си 4T1 да, d«
Рассматривая увеличение энтропии при изменении локальных макроскопических параметров и, в адиабатных условиях как
«причину» необратимого процесса, величины ^??2 = X1 называют
термодинамическими силами, а величины — - /„ определяющие
а/
скорость изменения парамеїров Ui-термодинамическими потоками. Выражение (13.4) для производства энтропии можно записать в виде
V = I1IlXi. (13.5)
Энтропия всей неравновесной системы аддитивно складывается из энгропий ее отдельных частей:
S=JpjdK (13.6)
§ 65. УРАВНЕНИЯ Ь АЛ АН CA И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
Для определения с помощью основного уравнения (13.3) іермоди-намики неравновесной системы производства энтропии и изменения во времени всех других ее термодинамических функций к этому уравнению необходимо добавить уравнения баланса ряда величин (массы, внутренней энергии и др.), а также уравнения, связывающие потоки I1 этих величин с термодинамическими силами Xi. Найдем уравнения баланса и законы сохранения различных величин.
Всякая экстенсивная величина В(х, у, z. г) макроскопической системы подчиняется уравнению баланса
^=-divIB.„ + afi, (13.7)
Где ІВ,Л — плотность полного потока величины B=pb (р — плотность вещества, b — значение величины В, отнесенное к массе), ств--изменение В за счет ее источников, отнесенное к объему и времени.
Уравнение (13.7), в котором <т0 равно нулю, выражает закон сохранения величины В. Так, закон сохранения массы имеет вид гидродинамического уравнения непрерывное! и
257 ^ = — div pu, (13.8)
где u—массовая скорость в дайной точке х. у, z в момент времени г.
Плотность полного потока /8,0, вообще говоря, не сводится к конвективному потоку ?u, т. е. к переносу величины В с потоком вещества, а содержит также члены другой природы (тепловой поток, диффузионный поток и т. д.):
ISn = ?u+IB (13.9)
(Ib—неконвективная часть потока).
Таким образом, уравнение баланса (13.7) аддитивной величины можно записать в виде
-div(pou+I?) + afl, (13.10)
8(pb)
где частная производная определяет изменение величины
B= pb в данной неподвижной точке пространства. Эту производную можно выразить через полную (субстанциальную) производную величины В. относящуюся к передвигающейся в пространстве «частице» вещества (как сплошной среды). Для этого заметим, что изменение d? величины В частицы вещества складывается из двух частей: из изменения В в данном месте пространства и из изменения В при переходе от данной точки к точке, удаленной от нее на расстояние dr, пройденное рассматриваемой частицей вещества в течение времеии dr. Первая из этих частей ёв ,
равна — df. а вторая часть равна
. OR , , dB . clB , , „ _ dx —-Hdу —+d; --= dr, V)?.
дх о у с:
Следовательно,
?-?+(. ,V,B. (Ш1)
Поэтому закон сохранения массы (13.8) и уравнение баланса величины В (13.10) можно записать соответственно в виде
^= — р div и, (13.12)
P ^= -divIft+ств. (13.13)
В соответствии с общей формулой (13.13) уравнение баланса энтропии будет
260 p ^= -divls. + a. (13.14)
где Is плотность потока эніропии, ст — локальная скорость возникновения энтропии.
Для нахождения явного вида Is и а формулу (13.14) ds
сопоставляют с выражением для р —, получаемым из уравнения Гиббса (13.3)
р di Tdi T dl T dt' у '
в которое подставляют выражения для производных по времени и производства эпіропии (13.5).
В качестве примера найдем уравнение баланса энтропии с явным видом Для Ii и а в однородном твердом теле, в котором имеется градиент температуры.
Пусіь и(х,)', z. /) — удельная внутренняя энергия. Изменением объема тела вследствие теплового расширения будем пренебрегать: поток частиц в случае твердого і ела также исключен. Поэтому из (13.15) имеем
ds і d« Ct d T d(~rdr~ T dt'
По закону сохранения энергии (в соответсівии с общей формулой (13.13) при сг,-0),
где Iy—плотность потока тепло і ы. Из э і их уравнений для баланса энтропии получаем
P Jl--Ji^h. (13.16)
и так как
d.v '=='divl2 + (l0, V ' )= ' divl ' (IQ, VT),
Pjr-divT-^fc' vr>- (13Л7>
Сопоставляя уравнение (13.17) с гидродинамическим уравнением баланса энтропии (13.14), находим, что плотность потока энтропии Is и производство энтропии CT СООТВЄ1С1ВЄІШО равны
9* 259 I. = | (13.18)
Q = (Iflt-Ivr)=XZ1Jrl, (13.19)
і аг
где Xi=-^1---декартова компонента іермодинамическои силы,
соответствующая декартовой координате потока /,.
Дополнительно привлекая установленные на опыте соотношения между потоками и термодинамическими силами, можно показать, что в соответствии со вторым началом термодинамики «т^О. Действительно, используя, в частности, закон і еп-лопроводности Фурье о пропорциональности Ifl градиенту температуры
