Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
50. Нарисуйте образ поверхности общего положения с полукубическим ребром возврата при отображении складывания трехмерного пространства (и, v, w) >->->-»- (u}v, w2) (предполагая, что касательная плоскость поверхности в точке трансверсального пересечения ребра возврата с плоскостью критических точек w = 0 не содержит направления оси ш). Сравните ответ с рис, 46.
51. Нарисуйте поверхность у2 = Z3X2 и сравните ответ с рис. 46 и с предыдущей задачей.
52. Нарисуйте объединение касательных к кривой {(t, t2, Iі)} и сравните, с предыдущими задачами,
10853. Докажите, что объединение касательных к прост ранственной кривой общего положения локально диф-феоморфио поверхности у2 = Z3X2 в окрестности каждой точки, где кручение кривой обращается в нуль.
К разделу 9
54. Определить плотность' пылевидной тяготеющей одномерной среды на замкнутой кривой в фазовой плоскости так, чтобы при движении частиц эта кривая и эта плотность сохранялись (указание: кривая q2 + + Рг + I P I3 = 4/27).
55. Доказать, что при пролегании одномерного потока пылевидной среды, определяющего первоначально гладкое поле скоростей, над скоплением с коренной особенностью плотности (a (х, t) х~і/гВ (х) + h (х, t), где а и b — заданные гладкие функции, а Ф 0, 8 (х) = 0 при X < 0, 1 при X > 0) поле скоростей приобретает слабую особенность вида с (х, t) z3/28 (х); гладкой заменой переменных можно свести с к единице.
56. Рассмотрим N частиц в единичном кубе и окружим каждую из них шаром радиуса г. При каком минимальном г эти шары образуют связную цепь диаметра единица? Покажите, что радиус убывает как CIN для распределений частиц вдоль линий, как CIN1/2 для распределений вдоль поверхностей, как CINsi2 для пространственных распределений (вычисляемая таким способом «размерность» крупномасштабного распределения галактик оказывается лежащей между 1 и 2).
К разделу 10
57. Нарисуйте множество негладкости функции
F (у) = min (min (Xі + ухх2 + г/2), у3)
X
и сравните с рис. 53.
58. Нарисуйте перестройку линий негладкости функции F (у1г у2, Уз) = min (г/j, у2, y1 + (Z2)1 заданной в трехмерном пространстве-времени, на изохронах t — Constj для функции времени t — ух + г/2 + у* и сравните с рис, 53.
59. Докажите, что особенности поверхностей уровня общего положения функций максимума типичных га-параметрических семейств функций такие же, как особенности графиков функций максимума п — 1-параметриче-
109ских семейств общего положения (причем множества меньших значений соответствуют надграфикам).. В этой ситуации «хорошие» значения параметров те, в которых функция максимума меньше фиксированной константы (а «хорошие» значения константы — Te1 которые больше максимума),
К разделу 11
60. Рассмотрим уравнение х + к± ± х — 0,
Определить, какие значения к отвечают сложенным
фокусам, какие — сложенным узлам и какие — сложенным седлам на плоскости (X1 E — х2 + ?2),
61. Найти поверхность, асимптотические линии которой образуют локально систему интегральных кривых сложенного фокуса (узла, седла),
62. Докажите, что интегральные кривые сложенного седла, соответствующие лежащим по одну сторону от складки CenapaTpHCaM1 подходят к особой точке с противоположных сторон, а интегральные кривые сложенного узла, соответствующие лежащим по одну сторону от складки выделенным фазовым кривым узла, подходят к особой точке с одной стороны,
63. Рассмотрим /(!-параметрическое семейство гладких гиперповерхностей в «-мерном линейном пространстве, снабженном проекцией на в — 1-мерное подпространство. Насколько негладким может оказаться видимый контур, если проектируемая поверхность выпукла, а семейство — общего положения?
64. Найти число модулей особенностей выпуклых оболочек типичных гладких поверхностей в четырехмерном пространстве и типичных гладких подмногообразий размерности 3 в пятимерном пространстве,
К разделу 12
65. Плоская кривая, двойственная к кривой у — х2 + 4- xfi/2, диффеоморфна исходной кривой, а двойственная к диффеоморфной ей кривой у — Jfif2 — нет,
66. Кривая, двойственная к типичной кривой с особенностью степени 5/2, имеет подобную же особенность.
67. Число (комплексных) особых точек типа 7 (см. рис. 64) на типичной алгебраической поверхности достаточно большой степени d равно 2d (d — 2) (lid — 24), а типа 5 — 5d (d — 4) (Id — 12).
JlO68. Когда поверхность уровня типичной функции трех переменных приближается к поверхности критического уровня, в критической точке исчезают 24 (комплексные) точки типа 7 (рис, 64).
К разделу 13
69. Эвольвента плоской кривой, проходящая через обыкновенную точку перегиба кривой, имеет в ней особенность типа 5/3.
70. Нарисуйте эвольвенты кубической параболы у =
= Xі.
71. Нарисуйте график (трехзначной) функции времени вблизи точки кубического перегиба ограничивающей препятствие кривой на плоскости.
72. Нарисуйте поверхность, образованную в трехмерном пространстве линейных элементов на плоскости элементами, касательными к эвольвентам плоской кривой, вблизи точки (кубического) перегиба этой кривой. Какие особенности имеет эта поверхность и какие — ее проектирование на плоскость (сопоставляющее каждому линейному элементу точку его приложения)?