Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арнольд В.И. -> "Теория катастроф" -> 37

Теория катастроф - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Теория катастроф — М.: Наука, 1990. — 128 c.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка): teoriyakatastrof1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 45 >> Следующая


50. Нарисуйте образ поверхности общего положения с полукубическим ребром возврата при отображении складывания трехмерного пространства (и, v, w) >->->-»- (u}v, w2) (предполагая, что касательная плоскость поверхности в точке трансверсального пересечения ребра возврата с плоскостью критических точек w = 0 не содержит направления оси ш). Сравните ответ с рис, 46.

51. Нарисуйте поверхность у2 = Z3X2 и сравните ответ с рис. 46 и с предыдущей задачей.

52. Нарисуйте объединение касательных к кривой {(t, t2, Iі)} и сравните, с предыдущими задачами,

108 53. Докажите, что объединение касательных к прост ранственной кривой общего положения локально диф-феоморфио поверхности у2 = Z3X2 в окрестности каждой точки, где кручение кривой обращается в нуль.

К разделу 9

54. Определить плотность' пылевидной тяготеющей одномерной среды на замкнутой кривой в фазовой плоскости так, чтобы при движении частиц эта кривая и эта плотность сохранялись (указание: кривая q2 + + Рг + I P I3 = 4/27).

55. Доказать, что при пролегании одномерного потока пылевидной среды, определяющего первоначально гладкое поле скоростей, над скоплением с коренной особенностью плотности (a (х, t) х~і/гВ (х) + h (х, t), где а и b — заданные гладкие функции, а Ф 0, 8 (х) = 0 при X < 0, 1 при X > 0) поле скоростей приобретает слабую особенность вида с (х, t) z3/28 (х); гладкой заменой переменных можно свести с к единице.

56. Рассмотрим N частиц в единичном кубе и окружим каждую из них шаром радиуса г. При каком минимальном г эти шары образуют связную цепь диаметра единица? Покажите, что радиус убывает как CIN для распределений частиц вдоль линий, как CIN1/2 для распределений вдоль поверхностей, как CINsi2 для пространственных распределений (вычисляемая таким способом «размерность» крупномасштабного распределения галактик оказывается лежащей между 1 и 2).

К разделу 10

57. Нарисуйте множество негладкости функции

F (у) = min (min (Xі + ухх2 + г/2), у3)

X

и сравните с рис. 53.

58. Нарисуйте перестройку линий негладкости функции F (у1г у2, Уз) = min (г/j, у2, y1 + (Z2)1 заданной в трехмерном пространстве-времени, на изохронах t — Constj для функции времени t — ух + г/2 + у* и сравните с рис, 53.

59. Докажите, что особенности поверхностей уровня общего положения функций максимума типичных га-параметрических семейств функций такие же, как особенности графиков функций максимума п — 1-параметриче-

109 ских семейств общего положения (причем множества меньших значений соответствуют надграфикам).. В этой ситуации «хорошие» значения параметров те, в которых функция максимума меньше фиксированной константы (а «хорошие» значения константы — Te1 которые больше максимума),

К разделу 11

60. Рассмотрим уравнение х + к± ± х — 0,

Определить, какие значения к отвечают сложенным

фокусам, какие — сложенным узлам и какие — сложенным седлам на плоскости (X1 E — х2 + ?2),

61. Найти поверхность, асимптотические линии которой образуют локально систему интегральных кривых сложенного фокуса (узла, седла),

62. Докажите, что интегральные кривые сложенного седла, соответствующие лежащим по одну сторону от складки CenapaTpHCaM1 подходят к особой точке с противоположных сторон, а интегральные кривые сложенного узла, соответствующие лежащим по одну сторону от складки выделенным фазовым кривым узла, подходят к особой точке с одной стороны,

63. Рассмотрим /(!-параметрическое семейство гладких гиперповерхностей в «-мерном линейном пространстве, снабженном проекцией на в — 1-мерное подпространство. Насколько негладким может оказаться видимый контур, если проектируемая поверхность выпукла, а семейство — общего положения?

64. Найти число модулей особенностей выпуклых оболочек типичных гладких поверхностей в четырехмерном пространстве и типичных гладких подмногообразий размерности 3 в пятимерном пространстве,

К разделу 12

65. Плоская кривая, двойственная к кривой у — х2 + 4- xfi/2, диффеоморфна исходной кривой, а двойственная к диффеоморфной ей кривой у — Jfif2 — нет,

66. Кривая, двойственная к типичной кривой с особенностью степени 5/2, имеет подобную же особенность.

67. Число (комплексных) особых точек типа 7 (см. рис. 64) на типичной алгебраической поверхности достаточно большой степени d равно 2d (d — 2) (lid — 24), а типа 5 — 5d (d — 4) (Id — 12).

JlO 68. Когда поверхность уровня типичной функции трех переменных приближается к поверхности критического уровня, в критической точке исчезают 24 (комплексные) точки типа 7 (рис, 64).

К разделу 13

69. Эвольвента плоской кривой, проходящая через обыкновенную точку перегиба кривой, имеет в ней особенность типа 5/3.

70. Нарисуйте эвольвенты кубической параболы у =

= Xі.

71. Нарисуйте график (трехзначной) функции времени вблизи точки кубического перегиба ограничивающей препятствие кривой на плоскости.

72. Нарисуйте поверхность, образованную в трехмерном пространстве линейных элементов на плоскости элементами, касательными к эвольвентам плоской кривой, вблизи точки (кубического) перегиба этой кривой. Какие особенности имеет эта поверхность и какие — ее проектирование на плоскость (сопоставляющее каждому линейному элементу точку его приложения)?
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 45 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed