Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арнольд В.И. -> "Теория катастроф" -> 36

Теория катастроф - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Теория катастроф — М.: Наука, 1990. — 128 c.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка): teoriyakatastrof1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 45 >> Следующая


105 соответствует устойчивым положениям равновесия? Исследуйте поведение фазовой точки при медленном изменении параметров a (t), Ъ (t).

26. Составьте однопараметрическое семейство векторных полей на прямой^ соответствующее бифуркациям рис. 13,

К равделу 6

27. Мягко или жестко теряет устойчивость положение равновесия системы z = (ico + a) z + Cz | z |2 при прохождении вещественного параметра а через нуль? Сравните результат с рис, 16.

28. Задайте формулами бифуркацию рис. 21 (компоненты поля — многочлены степени 5).

29. Исследуйте потерю устойчивости цикла z = Oi I W I = 1 системы

( Z = (а — 1 + i?) Z + (a + l)zw±w (z + zw)% \w =iw + w( 1 — I W 1?)

при прохождении параметра а через нуль, Найдите приближенно ответвляющийся двукратный цикл и исследуйте его устойчивость. Сравните результаты с рис. 22.

30. Исследуйте бифуркации фазового портрета системы, описывающей резонанс plq, q 5, z = ez + -Ь z I z I2 A (I z I2) + z9~3 при обходе малого комплексного числа е вокруг нуля (Л — комплексная функция общего положения), Сравните результаты с рис. 23,

31. Исследуйте бифуркации фазового портрета системы, описывающей резонанс 1:3, ъ = ez + Az | z |2 + Z2 при обходе комплексного параметра е вокруг нуля (Л — комплексное число общего положения),

32. Исследуйте бифуркации фазового портрета системы, описывающей резонанс 1 : 4, s = ez -J- Az | z |2 + z3, при обходе комплексного параметра є вокруг нуля (на плоскости комплексного переменного А известно 48 областей, различающихся цепочками бифуркаций, но не доказано дажег что число разных устойчивых цепочек конечно).

33. Исследовать затягивание потери устойчивости в системе Z = (г + а) Z — z \ z\2 h при медленном изменении параметров а — Eti Ъ — сы.

106 К разделу 7

34. Найти границу устойчивости семейства уравнений ? + ах + bx — 0 на плоскости вещественных параметров (а, Ъ).

35. Доказать, что граница устойчивости семейства уравнений X jT ах Ъх сх = 0 диффеоморфна поверхности W2 — U2V2, и О, V ^ 0.

36. Доказать, что граница устойчивости семейства уравнений і -{- Az Bz = 0 в трехмерном пространстве Im А = 2 диффеоморфна поверхности W2 — Uv2f и 0, г;> 0.

37. Найти число типов особенностей границы устойчивости семейства общего положения линейных многомерных систем, зависящих от четырех параметров,

К разделу 8

38. Исследовать особенности каустики (огибающей семейства нормалей) трехосного эллипсоида.

39. Исследовать особенности каустики — огибающей семейства геодезических на эллипсоиде, выходящих из одной точки.

40. Доказать, что каустика — огибающая семейства геодезических любой римановой метрики общего положения на сфере, выходящих из одной точки, имеет не менее четырех точек возврата.

41. Доказать, что объединение касательных прямых к кривой {(і2, і3, і4)} диффеоморфно множеству многочленов X4 + ах2 + Ъх + с» имеющих кратные вещественные корни.

42. Доказать, что гладкая функция f (а, Ь, с), производная которой по а в начале координат отлична от нуля, приводится в окрестности начала координат к виду + a + const гладкой заменой координат, сохраняющей ласточкин хвост предыдущей вадачи.

43. Доказать, что гладкое векторное поле, вектор которого в начале координат имеет ненулевую г-компонен-ту, приводится в окрестности начала координат к полю ±.д1дс (задающему систему a = 0,; Ъ = 0, і = + 1) гладкой заменой координат, сохраняющей ласточкин хвост двух предыдущих задач.

44. Пусть большая каустика в трехмерном пространстве-времени образована теми значениями параметра Q = {їй ?2і ?з)і ПРИ которых функция X4 + qxxt + ex

107 имеет вырожденные критические точки. Нарисовать перестройки мгновенных каустик, поручающихся при пересечении большой каустики изохронами, для функции времени t = Qt1 + q\.

45. Доказать, что функция времени общего положения приводится в окрестности каждой точки большой каустики предыдущей задачи, либо к виду t = q3 -f- const, либо к виду t — ±9! ± + const сохраняющим эту большую каустику диффеоморфизмом нространства-вре-мени.

46. Пусть большая каустика в четырехмерном пространстве-времени образована теми значениями параметра q = (qu g2, qs, q4)„ при которых функция Xі -f qгх2 -f -J- q2x имеет вырожденные критические точки. Исследовать перестройки мгновенных каустик, получающихся при пересечении большой каустики изохронами, для функции времени t = q1 ± ±

47. Нарисовать поверхность, образованную теми значениями параметра q, при которых функция х2у ± у3 + 4* Ч\Уг ~г ЧиУ + Qax имеет вырожденные критические точки.

48. Пусть большая каустика в четырехмерном пространстве-времени образована теми значениями параметра q, при которых функция х2у 4- у4 + q^s -f- q2y2 -f--f- qay + QiX имеет вырожденные критические точки. Исследовать перестройки мгновенных каустик, получающихся при пересечении большой каустики изохронами различных функций времени общего положения.

49. Нарисуйте образ плоскости (и, v) и ее разбиения на прямые и = const (или на кривые t = const, где dtldu Ф 0) при отображении (U1 v) (u2s v, uv) в трехмерное пространство. Сравните ответ с рис. 46 и с рис. 31.
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 45 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed