Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
3. Исследуйте бифуркации особых точек дифференциального уравнения X = —X3 + х + а при изменении параметра а.
4. Исследуйте бифуркации особых точек в системе дифференциальных уравнений і = ez — z2z + ^lz3, где А — фиксированное комплексное число, а комплексное число є обходит вокруг нуля,
5. Сколько имеется топологически различных вещественных многочленов пятой степени X5 + , » , с четырьмя различными вещественными критическими значениями? Два многочлена топологически одинаковы^ если один можно превратить в другой непрерывными и сохраняющими ориентации заменами зависимой и независимой вещественных переменных.
6. Обозначим через ап число типов многочленов хп+і с п различными критическими значениями (так что ответ в предыдущей задаче будет обозначаться а4) и составим функцию р (t) = hantnln\, Докажите, что р (t) = sec t + tg t (так что ап выражаются через числа Бернулли при нечетных п и через числа Эйлера — при четных).
7. Рассмотрим в пространстве многочленов х5 + » . » область, образованную многочленами с четырьмя различными вещественными критическими значениями. Сколько компонент связности имеет эта область?
8. Предположим, что второй дифференциал гладкой функции двух переменных в критической точке положительно определен. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной и и независимых
103 переменных (X, у) функция приводится к виду U-X2 4-
+ У2-
9. Предположим, что второй дифференциал гладко! функции п переменных в критической точке — невырожденная квадратичная форма. Докажите, что после надлежащей гладкой замены зависимой переменной и и и независимых переменных (х, у) функция приводится к виду и = X21 + . . . + X2k — у\ — . . . — у], к + I = П.
10. Докажите, что в критической точке аналитической функции двух переменных исчезают, как правило, 6 (комплексных) точек перегиба линии уровня,
К разделу 2
11. Сколько точек сборки имеет отображение z >-»¦
Z2 + ez?
12. Имеют ли точки сборки отображение (х, у) >-*¦ і-+ (X2 + ау, у2 + Ъх)?
13. Докажите, что число точек сборки отображения (общего положения) сферы на плоскость четно.
14. Пусть на сфере дана функция, интеграл которой по сфере равен нулю и для которой нуль — не критическое значение. Существует ли гладкое отображение сферы на плоскость, все особенности которого — складки и которое имеет якобианом данную функцию?
15. Докажите, что отображение сферы на плоскости все критические точки которого — складки и сборки, может иметь линией критических точек любую (непустую) гладкую кривую на сфере.
16. Предположим, что все критические точки гладкого отображения сферы на плоскость — складки и сборки и что число областей на сфере, где якобиан отображения положителен, равно а, а где он отрицателен — Ъ. Докажите, что число сборок не меньше, чем 2 I а — b |.
17. Сопоставим каждому вектору нормали к эллипсу его конец. Докажите, что построенное отображение цилиндра на плоскость имеет четыре точки сборки.
18. Если заменить в задаче 17 эллипс иесамопересе-кающейся кривой общего положения, то число точек сборки соответствующего отображения цилиндра на плоскость не меньше четырех.
К разделу 3
19. Рассмотрим на эллипсе функцию «расстояние от точки эллипса до фиксированной точки плоскости», Крити-
104 ческие точки таких функций образуют поверхность в трехмерном многообразии — прямом произведении эллипса на плоскость. Сколько сборок имеет проектирование этой поверхности на плоскость? Как выглядит множество критических значений проектирования?
20. Рассмотрим в пространстве функций на окружности множество всех функций, имеющих кратные критические значения. Лежит ли эта гиперповерхность в пространстве функций односторонне или двусторонне (т. е. можно ли ее снабдить трансверсальным направлением, меняющимся непрерывно вплоть до точек самопересечения и граничных точек)?
К разделу 4
21. Рассмотрим параболический цилиндр, опирающийся образующей прямой на горизонтальную плоскость. При каких положениях центра тяжести цилиндра над точкой касания положение равновесия устойчиво, а при каких — нет? Исследуйте особенности границы области устойчивости.
22. Нарисуйте график функции
/ (и, и) = min (Xі + их2 + их).,
X
К разделу 5
23. При каких значениях параметров теряет устойчивость положение равновесия системы х = X (а + Ъх + + су), у = y{d + ex + fy), для которого ху Ф 0? Как выглядят фазовые кривые при этих значениях параметров?
24. Рассмотрим гладко зависящее от одного параметра векторное поле на прямой. Докажите, что гладкой заменой параметра и гладкой заменой координаты на прямой, гладко зависящей от параметра, такое поле общего положения приводится (в окрестности бифурцирующей особой точки) к полю, определяющему эволюционную систему і = X2 + a + / (a) X3, где / — гладкая функция, а — параметр (в аналитическом случае все замены можно сделать аналитическими).
25. Исследуйте поверхность равновесий зависящею от двух параметров семейства уравнений х = —хъ + + ах + Ъ и особенности ее проектирования на плоскость параметров, Какая часть поверхности равновесий
