Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
95доставляет топологические ограничения на строение этой и подобных ей бифуркационных диаграмм (открытие необходимости строго доказывать подобные факты — заслуга г,-, тематики более позднего периода). Гиббс также явно указал на связь термодинамики с геометрией контактной структуры.
Геологические применения анализа особенностей ука-ты Скрейнемакерсом (1917).
В теории «теплового взрыва» Семенова (1929) и в работах его последователей по теории горения явно изучались перестройки стационарных режимов при изменении параметров, что приводило к необходимости исследования і* складок, и сборок, и более сложных ситуаций. В частности, в работе Я. Б. Зельдовича 1940 г. проанализированы явления, происходящие при морсовской перестройке кривой равновесий на плоскости фазовой переменной и параметра (рождении новых островков или их слиянии с основной кривой). В современной математической теории аналогичный анализ выполнен лишь в последние годы.
Анализ волнового поля вблизи каустики и ее особенностей привел Эйри и Пирси к осциллирующим интегралам, фаза которых доставляет нормальную форму складки и сборки соответственно. В связи с этим стоит отметить, что найденные М. А. Леонтовичем и В. А. Фоком асимптотики поля вблизи границы до сих пор не переварены теорией катастроф.
В теории упругости Койтер в 1945 г. обнаружил полукубическую особенность в зависимости предельной нагрузки от нецентральности ее приложения в задаче о про-щелкивании арки. Специалисты по теории упругости использовали геометрию сборки для выбора программ испытаний упругих конструкций, при которых не происходит прощелкивания несмотря на высокие нагрузки.
Вычисления в этих исследованиях обычно проводились без общей теории, за счет правильного отбрасывания одних членов ряда Тейлора и оставления других «наиболее важных». Из физиков, особенно систематически применявших теорию катастроф до ее возникновения, стоит особо выделить Л. Д. Ландау. В его руках искусство отбрасывать «несущественные» члены ряда Тейлора, сохраняя меньшие по величине «физически важные» члены, дало много включаемых в теорию катастроф результатов.
Так, в работе 1943 г. о возникновении турбулентности Ландау прямо выписывает этим методом уравнение «би-
96фуркации Хопфа» для квадрата амплитуды теряющего устойчивость колебания. Теория фазовых переходов второго рода по Ландау сводится к анализу бифуркаций критических точек симметрических функций. Кривые Ландау в теории фейимановских интегралов, зависящих от параметров, с их устойчивыми точками возврата, включаются в число основных бифуркационных диаграмм современной теории катастроф.
Конечно, современная общая теория позволяет с меньшей затратой сил исследовать более сложные особенности. Однако наибольшую практическую ценность имеют в большинстве случаев именно исследования наиболее простых н часто встречающихся особенностей: затрата сил на преодоление технических трудностей, стоящих на пути исследования более сложных случаев, не всегда оправдывается практической ценностью получаемых результатов. Hanpo-THB1 фундаментальные работы предшественников теории катастроф (как упомянутых выше, так и многих других) сохраняют все свое значение и теперь, когда их математическая структура вполне выяснена теориями особенностей и бифуркаций.
4 B1 И, АрнольдЗАКЛЮЧЕНИЕ
Газеты приносят вести о все новых катастрофах. Землетрясения, наводнения,; взрывы, войны, эпидемии окружают нас со всех сторон, и вдобавок над всем земным шаром нависает угроза страшнейшей из катастроф — ядерной. Пора запретить атомную гражданскую войну.
Математическая теория катастроф сама по себе не предотвращает катастрофы, подобно тому, как таблица умножения,- при всей ее полезности для бухгалтерского учета, не спасает ни от хищений отдельных лиц, ни от неразумной организации экономики в целом.
Математические модели катастроф указывают, однако,, некоторые общие черты самых разных явлений скачкообразного изменения режима системы в ответ на плавное изменение внешних условий. Например, устойчивый установившийся режим (скажем, режим работы реактора, или экологический или экономический режим) обычно погибает либо столкнувшись с неустойчивым (причем в момент столкновения скорость конвергенции бесконечно велика)« либо вследствие нарастания (опять бесконечно быстрого) самоподдерживающихся колебаний. Это объясняет,- почему так трудно бороться с катастрофой,- когда ее признаки сделались уже заметными: скорость ее приближения неограниченно возрастает по мере приближения к катастрофе.
К катастрофической потере устойчивости может приводить оптимизация и интенсификация. Например^ для простейшей модели рыболовства
х = х — X2 — с
оптимизация (максимизация) квоты отлова с = 1/4 приводит к неустойчивости установившегося режима (рис. 85) и катастрофе — уничтожению популяции малыми случайными колебаниями.
98Устойчивость не теряется, если ввести обратную связь: жесткий план с заменить величиной, пропорциональной фактически имеющимся ресурсам (урожаю^ популяции^..). В модели с обратной связью (рис. 86)