Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арнольд В.И. -> "Теория катастроф" -> 32

Теория катастроф - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Теория катастроф — М.: Наука, 1990. — 128 c.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка): teoriyakatastrof1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 45 >> Следующая


Каустики встречаются уже у Леонардо да Винчи, название им дал Чирнгаузен.

В 1654 г. Гюйгенс построил теорию эволют и эвольвент плоских кривых, обнаружив одновременно устойчивость точек возврата на каустиках и волновых фронтах (т. е. сборок соответствующих отображений). Перестройки фронтов на плоскости исследовались Лопиталем (около 1700 г.) и Кэли в 1868 г.

Гамильтон в 1837—1838 г. применил исследование критических точек семейств функций к изучению особенностей систем лучей в геометрической оптике, вроде конической рефракции и двойного лучепреломления.

Якоби в лекциях по динамике (1866) исследовал каустики системы геодезических эллипсоида, выходящих из одной точки, и обнаружил устойчивость точек возврата на каустиках.

93 Алгебраические геометры прошлого века хорошо знали типичные особенности кривых (Плюккер) и поверхностей (Сальмон), двойственных гладким. Ласточкин хвост подробно описан Кронекером (1878) и входил в учебники алгебры (Вебер, 1898); его можно найти в каталоге гипсовых поверхностей (Бриль, 1892), имеющихся в кабинетах геометрии старых университетов.

Типичные особенности отображений поверхностей в трехмерное пространство (зонтик Уитни, Z2 = ху2, половина которого изображена выше, на рис. 31) исследованы Кэли в 1852 г. Кэли изучал также геометрию семейства эквидистант и каустику трехосного эллипсоида — тем самым «кошелек», изображенный выше, на рис. 39, в. Он явно сформулировал задачу о топологии семейств линий уровня гладкой функции общего положения (1868) и исследовал бифуркации в некоторых типичных трехпа-раметрических семействах функций двух переменных.

Алгебраические аналоги теорем трансверсальности теории особенностей систематически использовались алгебраическими геометрами, особенно итальянской школы (Бертини, 1882 и др.).

Пуанкаре далеко развил теорию бифуркаций (включая более сложные, чем «бифуркация Хопфа» случаи) в своей диссертации и в «Новых методах небесной механики» (т. I, п. 37, п. 51; т. III, гл. 28 и т. п.).

К сожалению, бесхитростные тексты Пуанкаре трудны для математиков, воспитанных на теории множеств. Пуанкаре сказал бы: «прямая делит плоскость на две полуплоскости» там, где современные математики пишут просто: «множество классов эквивалентности дополнения [R2 \ [R1 к прямой IR1 на плоскости IR2, определяемых следующим отношением эквивалентности: две точки А, В GE IR2 \ [R1 считаются эквивалентными, если соединяющий их отрезок AB не пересекает прямую IR1, состоит из двух элементов» (цитирую по памяти из школьного учебника).

В книге «Математическое наследство Пуанкаре», изданной Американским математическим обществом, написано даже, что Пуанкаре не знал, что такое многообразие. В действительности определение (вещественного) гладкого многообразия в Analysis Situs Пуанкаре подробно изложено. В современных терминах оно таково: многообразием называется подмногообразие евклидова пространства, рассматриваемое с точностью до диффеоморфизма.

Это простое определение настолько же лучше современных аксиоматических конструкций^ насколько опре-

94 деление группы как (рассматриваемой с точностью до изоморфизма) группы преобразований и определение алгоритма, основанное на какой-либо (универсальной) машине Тьюринга, понятнее абстрактных определений.

Абстрактные определения возникают при попытках обобщить «наивные» понятия, сохраняя их основные свойства. Теперь, когда мы знаем, что эти попытки не приводят к реальному расширению круга объектов (для многообразий это установил Уитни, для групп — Кэли,- для алгоритмов — Черч), не лучше ли и в преподавании вернуться к «наивным» определениям?

Сам Пуанкаре подробно обсуждает методические преимущества наивных определений окружности и дроби в «Науке и методе»: невозможно усвоить правило сложения дробей, не разрезая, хотя бы мысленно,; яблоко или пирог.

В 1931 г. А. А. Андронов выступил с обширной программой, отличающейся от современной программы ката-строфистов только тем, что место еще не созданной к тому времени теории особенностей Уитни занимают качественная теория дифференциальных уравнений и теория бифуркаций Пуанкаре. Идеи структурной устойчивости (грубости), коразмерности (степени негрубости), бифуркационные диаграммы, явная классификация бифуркаций общего положения и даже исследование складок и сборок гладких отображений поверхностей на плоскость явно присутствуют в работах А. А. Андронова и его школы.

Физики всегда использовали более или менее эквивалентные теории катастроф построения при исследовании конкретных задач. В термодинамике эти идеи систематически использовались Максвеллом и особенно Гиббсом (1873). Перестройка изотерм диаграммы ван дер Вааль-са — типичный пример применения геометрии сборки. Анализ асимптотики в окрестности критической точки быстро приводит к пониманию независимости этой геометрии от точного вида уравнения состояния — факт,; хорошо известный со времен Максвелла и упоминаемый в большинстве учебников термодинамики (например, Ландау и Лифшица). Предложение Максвелла провести горизонтальный участок изотермы так, чтобы площади лунок над и под ним были равны, означает переход от одного из двух конкурирующих минимумов потепциала к другому в момент, когда второй становится ниже. Соответствующая бифуркационная диаграмма в теории катастроф называется стратом Максвелла, «Правило фаз» Гиббса
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 45 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed