Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
Группы симметрий правильных многогранников в трехмерном пространстве также образуют две бесконечные
Рис. 82. Простой и непростой Рис. 83. Диаграммы Дыяки-
серии и три исключения (исключения — группы симметрий тетраэдра [E6), октаэдра (E1) и икосаэдра (Es), серии — группы правильного многоугольника и правильного диэдра, т. е. двустороннего многоугольника с окрашенными в разные или одинаковые цвета гранями).
На первый взгляд, функции, колчаны, каустики, фронты и правильные многогранники не связаны между собой. На самом деле соответственные объекты не случайно обозначены одинаково: например, из икосаэдра можно построить функцию Xl + уъ + Z5, а из нее — диаграмму Ea, а также каустику и волновой фронт того же имени.
Легко проверяемым свойствам одного из соответствующих друг другу объектов соответствуют не обязательно очевидные свойства других. Таким образом, связи между всеми А, D, ^-классификациями используются для одновременного изучения всех простых объектов, несмотря на то, что происхождение многих из них (например, связей между функциями и колчанами) остается необъ-ясненным проявлением загадочного единства всего сущего.
колчаны
на,определяющие простые колчаны
90 По словам поэта:
Мир создан купно. Целостность его Не устает показывать планета — И вот в глаза бросается родство То тут, то там сияющего света. Наверно, есть какое-то ядро, Откуда свет расходится повсюду: И в зрелый свет сентябрьских щедрот, И в нашей жизни трепетное чудо.
Описание в терминах теории особенностей было найдено в 1983 г. для всех групп Кокстера, порожденных отражениями в евклидовых пространствах, включая некристаллографические, вроде Hs и H1.
Группы Bk, Ck и Fi связаны с краевыми особенностями функций (1978). Катастрофисты, кажется, все еще не заметили связей теории краевых особенностей с простейшими (и важнейшими) случаями так называемой теории несовершенных бифуркаций. Более сложные случаи последней связаны с теорией Горюнова проектирований полных пересечений, которая является далеким обобщением теории краевых особенностей. В теории Горюнова, в частности,, исключительная группа Fi оказывается родоначальником целого семейства особенностей Flt, к > 4.
Геометрическая интерпретация каустики Fi найдена И. Г. Щербак. Рассмотрим поверхность с краем в обычном трехмерном евклидовом пространстве. Каустика поверхности с краем состоит из трех поверхностей: фокального множества исходной поверхности (образованного ее центрами кривизны), фокального множества граничной кривой (являющегося огибающей семейства нормальных плоскостей) и поверхности, составленной из нормалей к исходной поверхности в граничных точках. Для поверхностей с краем общего положения в отдельных, точках край касается направления главной кривизны. В окрестности фокальной точки на нормали к поверхности, проведенной в такой точке края, каустика поверхности локально диффеоморфна каустике группы Fi (рис. 84).
Hs, группа симметрий икосаэдра, связана с перестройками эвольвент плоской кривой вблизи ее точки перегиба. В соответствующей плоской задаче об обходе препятствий график многозначной функции времени диффеоморфен многообразию нерегулярных орбит группы H3; он диффеоморфен также объединению касательных к кривой X = t, у = t3, Z = t5 (О. В. Ляшко, О. П. Щербак). В задаче об обходе препятствия в трехмерном пространстве
91 то же многообразие описывает особенность фронта в некоторых точках на поверхности препятствия.
Hi — это группа симметрий правильного 600-гранника в четырехмерном евклидовом пространстве. Чтобы описать этот многогранник, начнем с группы вращений икосаэдра. При двулистном накрытии SU(2) S0(3) эта группа из 60 вращений накрывается сбинарной группой икосаэдра» из 120 элементов. Группа SU(2) естественно изометрична трехмерной сфере, и 120 элементов бинарной группы образуют набор вершин искомого правильного многогранника в четырехмерном пространстве.
Рассмотрим теперь задачу об обходе препятствия в трехмерном пространстве. График (многозначной) функции времени является гиперповерхностью в четырехмерном пространстве-времени. Для задачи об обходе препятствия общего положения эта гиперповерхность локально
Рис. 84. Каустика группы 1'\ — типичная особенность фокального множества поверхности с краем
диффеоморфна многообразию нерегулярных орбит группы Hi в некоторой точке. А именно, нужная точка лежит на касательной к геодезической на поверхности препятствия, имеющей в параболической точке касания асимптотическое для поверхности направление (О. П. Щербак, 1984). Добавление ПРЕДШЕСТВЕННИКИ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ
Сначала мысль, воплощена В поэму сжатую поэта. Как дева юная, темна Для невнимательного света; Потом, осмелившись, она Уже увертлива, речиста, Со всех сторон своих видна, Как искушенная жена В свободной прозе романиста; Болтунья старая, затем Она, подъемля крик нахальный, Плодит в полемике журнальной Давно уж ведомое всем.
Е. Баратынский
Не претендуя на полноту, я приведу здесь несколько ярких работ, авторы которых рассматривали особенности, бифуркации и катастрофы в системах общего положения, возникающих в различных областях знания.
