Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
Однако в окрестности отдельных точек на линии пара-боличности поведение асимптотических линий сложнее: они устроены как интегральные кривые неявных уравнений вблизи сложенных особых точек (рис. 55).
Сложенные особенности появляются также в теории релаксационных колебаний. Пусть система имеет одну быструю и две медленных переменных, так что полное фазовое пространство трехмерно. Точки, где скорость изменения быстрой переменной равна нулю, образуют (вообще говоря гладкую) поверхность — медленную поверхность системы. Движение фазовой точки состоит из нескольких процессов. Вначале быстрая переменная релаксирует, т. е. фазовая точка быстро движется по «вертикали» (по направлению оси быстрой переменной) к медленной по-верхности^ затем начинается медленное движение вдоль
51 этой поверхности. Траектории этого движения определяются полем направлений, высекаемым на ней полем плоскостей, натянутых на вертикальное направление (направление оси быстрой переменной) и направление возмущений. Это поле плоскостей определяет, вообще говоря, контактную структуру в фазовом пространстве,: и особенности медленного движения описываются, вообще говоря, сложенными особыми точками рис. 55.
В качестве последнего примера тех же особенностей рассмотрим движение материальной точки в потенциальной яме (или у потенциального барьера) в присутствии трения. Обозначим (рис. 56) через х координату точки, а через E
ее полную энергию. Проекции фазовой траттории на плоскость (х, E) имеют при подходе к графику потенциальной энергии полукубические, вообще говоря, особенности. Минимуму (максимуму) потенциальной энергии отвечает особая точка. Для потенциальной энергии общего положения получаются все те же сложенные особенности Давыдова.
Причина, по которой сложенные особенности встречаются столь часто, состоит в том, что часто встречаются как обычные особенности векторного поля, так и складывания. Неожиданным здесь является лишь то, что комбинирование складывания с особенностью не приводит к большему разнообразию случаев, чем в классификации самих особенностей векторных полей. А именно, рассмотрим складывание как инволюцию (диффеоморфизм, квадрат которого — тождественное преобразование) на плоскости, несущей векторное поле с особой точкой. Если линия неподвижных точек инволюции проходит через особую точку поля и инволюция на этой линии меняет знак каждого вектора поля на противоположный, то такая инволюция (почти всегда) переводится в любую другую инволю-
Рис. 56. Диссипация энергии в яме и у барьера
52 цию с такими свойствами при помощи диффеоморфизма, двигающего вдоль себя каждую фазовую кривую заданного псля. Этот (довольно неожиданный) результат является источником всей описанной выше теории.
Четвертая особенность границы достижимости получается из двух сепаратрис сложенных седел, входящих с разных сторон в сложенный узел. Приведенная выше нормальная форма сложенного узла позволяет явно выписать нормальную форму четвертой особенности, но я здесь не буду этого делать.
Примеры управляемых систем и целей, приводящих к указанным особенностям границы достижимости, изображены на рис. 57, 58, 59. На этих рисунках цель у обозначена двойной линией, граница области достижимости— Т-образным пунктиром (ножка буквы T обращена в сторону области достижимости). Линии со стрелками касаются краев конусов допустимых направлений в каждой точке; горизонтально заштрихована область «полной управляемости (выпуклая оболочка индикатрисы окружает 0). Рассматривая рис. 57—59 читатель может проверить неустранимость особенностей 1—4.
Чтобы разобраться в этих рисунках, мы построим сеть предельных линий, определяемую следующим образом.
В каждой точке вне области полной управляемости направления допустимых скоростей расположены внутри угла, меньшего 180°.
Стороны этого угла определяют направления предельных скоростей в данной точке. Таким образом, в каждой точко вне области полной управляемости возникают два предельных направления. Интегральные кривые полей предельных направлений (т. о. кривые, имеющие предельное направление в каждой своей точке) называются предельными линиями.
Сеть предельных линий изображена на рпс. 54 вместе с индикатрисами допустимых скоростей (они имеют вид эллипсов) и с опирающимися на индикатрисы углами, образованными допустимыми направлениями движения.
Граница области достижимости состоит из отрезков предельных линий (и, быть может, отрезков линии цели, если цель не лежит и области цолной управляемости, см, рис, 57). Эти отрезки соединяются между собой в точках, которые и составляют особенности границы области достижимости.
На рис. 57 цель имеет вид контура лежащей на спине буквы С. Допустимые скорости во всех точках плоскости одинаковы и направлены вверх иод углом, составляющим не более 45° с вертикалью.
Рис. 57. Устойчивость особенностей I и 2 на границе области достижимости
53 Наклон всех предельных линий +45°. Граница достижимости обозначена Т-образным пунктиром. Видны особые точки границы двух типов: 1 и 2.
