Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
Ребра возврата движущихся в трехмерном пространстве каустик заметают поверхность бикаустики. Особенности бикаустик общего положения, соответствующих различным метаморфозам рис. 44 и 45, изображены на рис. 46,
Как известно, лучи описывают распространение волн (скажем, световых) лишь в первом приближении; при более точном волновом описании появляется новый
38Рис. 44. Типичные перестройки каустик в трехмерном пространстве: серия Асущественный параметр — длина волны (лучевое описание пригодно лишь в случае, когда эта длина мала по сравнению с характерным геометрическим размером системы).
Интенсивность света вблизи каустики больше, а вблизи ее особенностей еще больше. Коэффициент усиления оказывается пропорциональным где I — длина волны, а показатель а — рациональное число, зависящее от
Рис. 46. Типичные особенности бикаустик
характера особенности. Для простейших особенностей значения а таковы:
Каустика Ребро возврата Ласточкин хвост Пирамида Кошелек
1/6 1/4 3/10 1/3 1/3
Таким образом, ярче всего светятся точечные особенности типа пирамиды и кошелька. В случае движущейся каустики в отдельные моменты времени могут возникать более яркие особенности *) А б, D6 (см, рис, 44, 45, а = = 1/3 для A5, 3/8 для D5).
Если свет настолько интенсивен, что способен разрушать среду, то разрушение начнется в точках наибольшей яркости, поэтому показатель а определяет зависимость интенсивности разрушающего среду света от частоты.
Аналогичная описанной выше классификация особенностей каустик и волновых фронтов проведена в многомерных пространствах до размерности 10 (В, М. Закалю-кин).
*) Все перечисленные особенности классифицируются по тинам Ajc, Die, о которых подробнее рассказано на с. 89—90,
40Предсказания теорией особенностей геометрии каустик, фронтов и их перестроек получили полное подтверждение в экспериментах, и сейчас даже кажется странным, почему эта теория не была построена лет двести назад. Дело, однако, в том, что соответствующий математический аппарат не тривиален *) и связан с такими разделами математики, как классификации простых алгебр Ли и кристаллографических групп Кокстера, с теорией кос, теорией ветвления интегралов, зависящих от параметров, и т. д.— он даже связан (довольно таинственным образом) с классификацией правильных многогранников в трехмерном евклидовом пространстве.
Катастрофисты пытаются избежать серьезной математики. Например, в составленной К. Зиманом в 1980 г. обширной библиографии по теории катастроф опущены ссылки на математические работы, вышедшие после 1976 г. Таким образом, катастрофисты продолжают попытки экспериментально нащупать ответы в задачах, давно решенных математиками. Например, в работе 1980 г. о ветровых полях и движении льда можно найти полуудачные попытки угадать список метаморфоз каустик в трехмерном пространстве (см. рис. 44, 45), опубликованный математиками еще в 1976 г.
9. КРУПНОМАСШТАБНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВА ВО ВСЕЛЕННОЙ
В настоящее время распределение вещества во Вселенной крайне неоднородно (существуют планеты, Солнце, звезды, галактики, скопления галактик и т. д.). Современная астрофизика считает, что на ранних этапах развития Вселенной таких неоднородностей не было. Как же они образовались? Я. Б. Зельдович в 1970 г. предложил объяснение образования скоплений пылевидной материи, математически эквивалентное анализу возникновения особенностей каустик, начатому в 1963 г. Е. М. Лифши-цем, Халатниковым и Судаковым.
Рассмотрим бесстолкновителъную среду, т, е. среду настолько разреженную, что ее частицы проходят друг «сквозь» друга, не сталкиваясь. Предположим, для простоты, что частицы не взаимодействуют и движутся по инер-
*) Первоначальное доказательство теоремы Уитни, с которой мы начали, занимало около 40 страниц; хотя окончательные геометрические результаты теории особенностей легко могут быть поняты и использованы, доказательства продолжают оставаться сложными.
41ции: через время t частица, находившаяся в точке х, перейдет в точку X + vt.
Предположим, что в начальный момент скорость частицы, находящейся в точке х, была V0 (х); векторное поле V0 называется начальным полем скоростей среды, С течением времени частицы будут двигаться и поле скоростей будет меняться (хотя скорость каждой частицы и не меняется, в следующий момент времени эта частица находится на новом месте).
На рис. 47 изображено начальное поле скоростей одномерной среды V0 и получающиеся из него через время і — 1, 2 и 3 поля V1, v2, Vs. Мы видим, что, начиная с некоторого момента, более быстрые частицы начинают обгонять более медленные; в результате поле скоростей становится трехзначным: че-
Рис. 47. Эволюция поля скоростей бесстолкнови-тельной среды
Рис. 48. Особенности плотности после обгона
рез одну точку пространства проходят с разными скоростями три потока частиц.
Движение нашей среды можно описать как однопараметрическое семейство отображений прямой на прямую. Именно для каждого t определено отображение gt, переводящее начальное положение частицы (х) в конечное: