Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арнольд В.И. -> "Теория катастроф" -> 13

Теория катастроф - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. Теория катастроф — М.: Наука, 1990. — 128 c.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка): teoriyakatastrof1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 45 >> Следующая


Ребра возврата движущихся в трехмерном пространстве каустик заметают поверхность бикаустики. Особенности бикаустик общего положения, соответствующих различным метаморфозам рис. 44 и 45, изображены на рис. 46,

Как известно, лучи описывают распространение волн (скажем, световых) лишь в первом приближении; при более точном волновом описании появляется новый

38 Рис. 44. Типичные перестройки каустик в трехмерном пространстве: серия А существенный параметр — длина волны (лучевое описание пригодно лишь в случае, когда эта длина мала по сравнению с характерным геометрическим размером системы).

Интенсивность света вблизи каустики больше, а вблизи ее особенностей еще больше. Коэффициент усиления оказывается пропорциональным где I — длина волны, а показатель а — рациональное число, зависящее от

Рис. 46. Типичные особенности бикаустик

характера особенности. Для простейших особенностей значения а таковы:

Каустика Ребро возврата Ласточкин хвост Пирамида Кошелек
1/6 1/4 3/10 1/3 1/3

Таким образом, ярче всего светятся точечные особенности типа пирамиды и кошелька. В случае движущейся каустики в отдельные моменты времени могут возникать более яркие особенности *) А б, D6 (см, рис, 44, 45, а = = 1/3 для A5, 3/8 для D5).

Если свет настолько интенсивен, что способен разрушать среду, то разрушение начнется в точках наибольшей яркости, поэтому показатель а определяет зависимость интенсивности разрушающего среду света от частоты.

Аналогичная описанной выше классификация особенностей каустик и волновых фронтов проведена в многомерных пространствах до размерности 10 (В, М. Закалю-кин).

*) Все перечисленные особенности классифицируются по тинам Ajc, Die, о которых подробнее рассказано на с. 89—90,

40 Предсказания теорией особенностей геометрии каустик, фронтов и их перестроек получили полное подтверждение в экспериментах, и сейчас даже кажется странным, почему эта теория не была построена лет двести назад. Дело, однако, в том, что соответствующий математический аппарат не тривиален *) и связан с такими разделами математики, как классификации простых алгебр Ли и кристаллографических групп Кокстера, с теорией кос, теорией ветвления интегралов, зависящих от параметров, и т. д.— он даже связан (довольно таинственным образом) с классификацией правильных многогранников в трехмерном евклидовом пространстве.

Катастрофисты пытаются избежать серьезной математики. Например, в составленной К. Зиманом в 1980 г. обширной библиографии по теории катастроф опущены ссылки на математические работы, вышедшие после 1976 г. Таким образом, катастрофисты продолжают попытки экспериментально нащупать ответы в задачах, давно решенных математиками. Например, в работе 1980 г. о ветровых полях и движении льда можно найти полуудачные попытки угадать список метаморфоз каустик в трехмерном пространстве (см. рис. 44, 45), опубликованный математиками еще в 1976 г.

9. КРУПНОМАСШТАБНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВА ВО ВСЕЛЕННОЙ

В настоящее время распределение вещества во Вселенной крайне неоднородно (существуют планеты, Солнце, звезды, галактики, скопления галактик и т. д.). Современная астрофизика считает, что на ранних этапах развития Вселенной таких неоднородностей не было. Как же они образовались? Я. Б. Зельдович в 1970 г. предложил объяснение образования скоплений пылевидной материи, математически эквивалентное анализу возникновения особенностей каустик, начатому в 1963 г. Е. М. Лифши-цем, Халатниковым и Судаковым.

Рассмотрим бесстолкновителъную среду, т, е. среду настолько разреженную, что ее частицы проходят друг «сквозь» друга, не сталкиваясь. Предположим, для простоты, что частицы не взаимодействуют и движутся по инер-

*) Первоначальное доказательство теоремы Уитни, с которой мы начали, занимало около 40 страниц; хотя окончательные геометрические результаты теории особенностей легко могут быть поняты и использованы, доказательства продолжают оставаться сложными.

41 ции: через время t частица, находившаяся в точке х, перейдет в точку X + vt.

Предположим, что в начальный момент скорость частицы, находящейся в точке х, была V0 (х); векторное поле V0 называется начальным полем скоростей среды, С течением времени частицы будут двигаться и поле скоростей будет меняться (хотя скорость каждой частицы и не меняется, в следующий момент времени эта частица находится на новом месте).

На рис. 47 изображено начальное поле скоростей одномерной среды V0 и получающиеся из него через время і — 1, 2 и 3 поля V1, v2, Vs. Мы видим, что, начиная с некоторого момента, более быстрые частицы начинают обгонять более медленные; в результате поле скоростей становится трехзначным: че-

Рис. 47. Эволюция поля скоростей бесстолкнови-тельной среды

Рис. 48. Особенности плотности после обгона

рез одну точку пространства проходят с разными скоростями три потока частиц.

Движение нашей среды можно описать как однопараметрическое семейство отображений прямой на прямую. Именно для каждого t определено отображение gt, переводящее начальное положение частицы (х) в конечное:
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 45 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed