Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
A1 =0, (III.85)
а из (III. 80) и (III. 82)—H2=H0-H. Теперь (111.78) и (III. 80) можно переписать в виде
Hf — К! + УН = Oi (III.86)
+ [* ^ -P)- Ц //} УL = * (4P - ад- ( т-87>
Вычитая (III. 87) из удвоенного уравнения (111.77) и используя (III. 86), предварительно продифференцировав его, получаем
IfHf + + (L~ + 2) + 3/>)] H -
_ (L ~ 1^l + 2) К = 0. (111.88)
Аналогично этому (вычитанием (III.87) из (II 1.73)) получается и следующее уравнение:
{х'Я' +[** + 2 І* + + X <„ - р) H-
_ (L-\)(L + 2) ум = Ыр_ (П1 89)
252* Уравнения (III. 81) и (III. 82) удовлетворяются в силу (III. 85) и (III. 87).
Уравнение (III.88) определяет значение функции H на внешней границе. В самом деле, вычитая левые части (III. 88) для внутренней и внешней сторон внешней границы 2rnat и учитывая (III.6), (III.7) и условие б) сшивания, получаем
H(R)= 0. (II 1.90)
После исключения функции К из уравнений (III.86) и (111.88) для внешней области Dx можно записать уравнение для H в Dx:
2-
H" +
2 I1
K1-I
H' —-і
•--+-И
7J 2 V
(L—l)(L + 2)
а
(¦-n-K'-f)
H= 0.
(IJI.91)
Независимые решения этого уравнения в асимптотической области Г OO имеют вид
{L~l) ('+2) ~1) /2 H-COnstTjv ' , 7]->00,
H-
const
(aj/l+f (L-I) (ZL-f2» + 1)/2 7I'
00.
Второе решение удовлетворяет требуемому условием а) асимптотическому поведению Н. Однако ненулевое решение уравнения (III. 91) не может удовлетворить условиям а) и (III. 90) одновременно. При выполнении обеих этих условий должна существовать точка ? в интервале R^r <оо, в которой H имеет экстремальное значение типа Hf(I)= 0 и Н" (I) /Н (I) <0. Но выражение в фигурных скобках левой части (III. 91) неотрицательное в Db поэтому такая точка не существует. Следовательно, Н(г)=0 в Dx. Из (III. 88) следует, что в D1 и /((У)=0. Система обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с нулевыми граничными значениями функций имеет только нулевое решение. Поэтому и в D2i и в D3 уравнения (III. 86) и (III. 88) допускают только тривиальное решение. Учитывая также уравнения (III. 87), (III. 89), (III. 74) и (III. 84), приходим к выводу, что 6p=o\i = ou0 = 0 в D2, a H = K=Hx = O всюду.
Оставшиеся неиспользованными два уравнения (III. 75) и (III. 76) связывают три функции — одну функцию H0 возмущения
253* метрики с двумя функциями 6и2 и 6ы3 скорости движения вещества. Если ввести амплитуду A(r; L, М) моды LfM скорости вещества, то их можно переписать в удобном виде:
OU2 = іМА (г; Lt М) -jr^j» (Ш.92а)
дУм
Iuz = -Л (г; L, М) Sine-^, (ІП.926)
- -2* (|а + /?) А (г; Lt М) е112. (Ш.93)
Пусть теперь L= 1. Уравнения (111.75) и (111.76) по-прежнему могут быть переписаны в виде (III. 92 а, б) и (III. 93). Благодаря свойствам функций Лежандра, функция h\ в этом случае полностью выпадает из системы уравнений (III. 73) — (III. 82), а уравнения (III. 73), (III. 77) — (III. 82) сводятся к трем независимым уравнениям
Н0 + [т + 2 f- -t^] hO + T "2 = 0. (41-94) ^'+(3T" xiiT^) Но - = 0. (И 1.95)
\(v.+p)H,Y? = bp. (111.96)
Заметим, однако, что последние уравнения, а также (II 1.84), не являются динамическими связями на возмущения метрики и вещества, а совпадают с трансформационными формулами для метрики и давления, индуцированными инфинитезимальным преобразованием г-+г-I-S1, если
Этому преобразованию координат соответствует, например, преобразование
^P=P(X) -P (X) = -L Gx +p)iv
давления, удовлетворяющего невозмущенным уравнениям Эйнштейна (III. 5) или (III. 34 в), которое совпадает с (III. 96). Поэтому функции H0, H2, К, бр и op, вообще не связаны с вращением тела, a H 1=0, согласно (III. 74). Это позволяет упростить матрицу возмущения с помощью соответствующих инфинитезимальных преобразований координат. А именно, преобразованием координат
0^6--iJM Vм [^dr9
Sin в 1 I T)-' •
і d^f1 Гл, J
sin6 <?8 JlTdr
254* из матрицы возмущения устраняются компоненты og\2 и 6gi3, в то время как остальные компоненты остаются без изменения. Затем преобразованием
г г — % Vм г г v I J
можно устранить компоненты Zg00, 8giU bg22 и Zg33, оставив без изменения Sg02 и og-03. При этом матрица возмущения приобретет вид
{IV
О, О, О, S
-А,
ш
0 sino
Lh І.
V nO дв '
а • ft * *
A0Sine^
О О
Г
Л1
Тогда три уравнения Эйнштейна, соответствующие компонентам (00), (г г) и (г, 0), можно записать следующим образом:
^H0Yf = х(3,х + 38/,),
2 /H0Y Vм * оЧ
"о drf
1___
^Sin2 0 X' <Э0
0.
Из них сразу же следует, что H0 = О и 8ц = ор = 0.
Таким образом, все моды L^l возмущений метрики и вещества, связанных с медленным вращением тела, описываются только функциями Ao, bti2 и 6w3, удовлетворяющими уравнениям (III. 92) и (III. 93).
Во внешних областях Di и D3 уравнение (III. 93) сводится к гипергеометрическому, общее решение которого, удовлетворяющее условиям а) и в), представляется следующим образом:
Du к0=СЛ^М) F(L-\% L-f 2; 2(1 + 1); (IIL97a)
їу); (III.97б)
