Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арифов Л.Я. -> "Общая теория относительности и тяготения" -> 9

Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.

Арифов Л.Я. Общая теория относительности и тяготения — СССР: Фан, 1983. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositel1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 115 >> Следующая


(JJZrfSll = 0,

где dS —вектор, направление которого параллельно внешней нормали к гиперповерхности, ограничивающей объем интегрирования, а абсолютное значение равно инвариантному элементу объема dV этой гиперповерхности.

Пусть область интегрирования D ограничена двумя гиперповерхностями сої и o)2 из семейства произвольных пространственно-подобных гиперповерхностей (I)(^a)=Const и временноподобной гиперповерхностью 2, дополняющей две первых до замкнутой границы D. Физическая система называется замкнутой, если ее динамические переменные равны нулю на гиперповерхности 2, каково бы ни было семейство пространственноподобных гиперповерхностей со. Поэтому для замкнутой системы электрических зарядов последнее равенство можно переписать как

JyVS11 + JZdSll-O.

(со,) (CO2)

Замечая, что один из векторов dS направлен в прошлое, и вводя единичный вектор нормали е^ к пространственноподобной гиперповерхности в сторону будущего, получаем независимость интеграла от гиперповерхности семейства:

J fe^d l/ = const= -2*- (1.10а)

(<о)

Это и есть закон сохранения электрического заряда.

22 Равенство (1.10а) можно рассматривать как определение плотности зарядов рш на гиперповерхности со. Тогда

р„ =

Функции рш, как и р, инвариантны относительно произвольных преобразований координат в физическом мире, но зависят от выбора гиперповерхности в соответствии с изменением объема физической системы при переходе от одной пространственноподобной гиперповерхности к другой.

Уравнения Максвелла — Лоренца определяют тензор электромагнитного поля в зависимости от распределения электрических зарядов и токов. Из краевых задач наибольший интерес с физической точки зрения представляет задача Коши об интегрировании уравнений в частных производных для заданных значений искомых функций на заданной гиперповерхности. В физическом мире, согласно аксиоме Минковского и определению 2, существуют гиперповерхности трех типов: пространственноподобные, изотропные и временноподобные. Решение уравнений (1.7) существенно зависит от того, является ли заданная гиперповерхность изотропной или неизотропной. Подразделение неизотропных гиперповерхностей на пространственно- и временноподобные несущественно для решения уравнений (1.7), хотя в физических ситуациях исключительный интерес для задания начальных условий представляет физическое пространство в начальный момент времени, являющееся пространственноподобной гиперповерхностью физического мира.

Пусть задана некоторая неизотропная гиперповерхность о) [х°) = 0. Неизотропность означает, что вектор нормали

д<а

K гиперповерхности имеет ненулевое значение, Т. е. g^ -J-J X

X ф 0, причем гиперповерхность пространственноподобна,

если норма нормали отрицательна, и временноподобна, если она положительна. Введем соответственно мнимоединичный или единичный векторы еа вдоль нормали к гиперповерхности. Определим инвариантные функции SnP и 4-векторы Sa и Pa следующим образом:



Pa= Fal-4r.f+ Pe

а? ;?

a

23

Da_ Fa^

4 Tzf-Pea

если ее* — 1.

В каждой точке физического мира векторы S1 и Pe принадлежат одной из гиперповерхностей семейства G) = const, поэтому име-кУг только по три (а не по четыре) линейно независимых компонента.

Лемма 1. Если Sx и Pa равны нулю всюду, a S h P равны нулю на одной из гиперповерхностей семейства, то они равны нулю всюду.

Пусть удовлетворяются условия леммы. Имеем

sr. = o,

Первый член справа тождествен нулю из-за свойств симметрии, поэтому

0.

Соответственно

= о,

дР

Первый член справа тождествен нулю, как было показано выше при выводе (1.10), а второй обращается в нуль благодаря уравнению непрерывности*. Поэтому находим, что функция Р, как и S9 удовлетворяет уравнению

*?-еа + Ре:= 0.

дха

Эти уравнения имеют только нулевые решения для нулевых начальных значений ShP, что и доказывает лемму 1.

Разобьем уравнения Максвелла — Лоренца на две группы

5« = 0, Pa = O, (1.11)

S==O, Р = 0. (1.12)

Первая группа содержит шесть, а вторая — два независимых уравнения. Система восьми уравнений Максвелла — Лоренца определяет только шесть независимых искомых функций Z7txv.

* Обратим внимание, что в доказательстве леммы сознательно не используются уравнения Максвелла—Лоренца.

24 Теорема 4. Система уравнений Максвелла — Лоренца находится в инволюции: всякое решение группы уравнений (1.11), удовлетворяющее данным Коши на заданной неизотропной гиперповерхности, удовлетворяет также группе уравнений (1.12), если данные Коши удовлетворяют им.

Эта теорема легко доказывается на основании леммы 1. Она представляет собой инвариантное выражение известного в электродинамике факта (см., например, Левич, 1962).

Таким образом, задача Коши для уравнений Максвелла — Лоренца распадается на две: 1) отыскание данных Коши, удовлетворяющих на заданной неизотропной гиперповерхности уравнениям (1.12); 2) нахождение решения, удовлетворяющего уравнениям (1.11) и данным Коши.

Шесть уравнений (1.11) разрешаются относительно производных шести искомых функций вдоль нормали к заданной неизотропной гиперповерхности, поэтому, если данные Коши, т. е. функции F^ на этой гиперповерхности, определяют производные искомых функций вдоль нее, то уравнения (1.11) в разрешенной форме определяют производные искомых функций в точках гиперповерхности вдоль ее нормали через данные Коши и их производные. Таким образом, данные Коши и уравнения (1.11) определяют значения искомых функций и все их производные на заданной гиперповерхности.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed