Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = — (dt)2+ (dX')2+ (dX2)2+ (dX3)2. (L6J
Такие координатные сетки принадлежат инерциальным системам отсчета.
Геометрия мира Минковского вместе с тщательно разработанным Эйнштейном (1905) сопоставлением геометрических образов физическим понятиям применительно к инерциальным системам отсчета — одновременность и синхронизация, измерение проме-
29 жутков времени между событиями в разных точках пространства, измерение пространственных расстояний, взаимосвязь результатов измерений, осуществляемых в различных системах отсчета,— и составляют основу специальной теории относительности.
Законы электродинамики в специальной теории относительности записываются следующим образом (Ландау, Лифшиц, 1973): уравнения Максвелла — Лоренца
F ^ о
А"' ' (IJ)
F^ = 4*Л
уравнение движения электрических зарядов tdu»
т
{^r + = О*;
(1.8)
здесь F^ — антисимметричный тензор электромагнитного поля, выражаемый через напряженности электрического и магнитного полей; в инерциальной системе отсчета, например,
Exi —Ех% E X3
О
Exi О Е„-Нх з О Exi Hxi -Hxi
H
X1
Ju- 4-вектор плотности электрического тока, /А = рил; р —инвариантная функция распределения электрических зарядов е\ и^ — 4-вектор скорости частицы или касательный вектор к линиям тока, Ijlfc = ^p do =SZ У\ asd |; символы Кристоффеля
второго рода (Эйзенхарт, 1948); запятая и точка с запятой означают частную и ковариантную относительно метрики g произ-
JXV
единичный полностью антисим-^v _ 1 . J**'. ?_детерми-
водные соответственно; е" метричный тензор Леви-Чивита, е —^r—
яант метрического тензора; Ea*" = 1 (или —1), если (a?jxv) есть четная (или нечетная) перестановка (0123) и Ea^- 0 в остальных случаях.
Определение 3. Мировой линией называется одномерная не-пространственноподобная непрерывная совокупность событий в физическом мире.
Примером мировой линии является совокупность событий, составляющих историю частицы. В случае непрерывного распределения физического объекта (среда) мировая линия называется линией тока. Мировая линия задана, если заданы координаты события в функции некоторого параметра, и наоборот, четыре не-
20 прерывные функции х* (А,) независимой переменной К определяют мировую линию.
Теорема 2. Семейство непересекающихся мировых линий (линий тока) и поле мнимоединичных 4-векторов и* взаимно однозначно определяют друг друга.
Доказательство первой части теоремы тривиально. Докажем вторую часть. Пусть задано поле векторов и*(х). Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
(1.9)
имеет решение X11 (о) и притом единственное для заданного события X^ = Xq и заданного значения оо параметра (Смирнов, 1965). Легко видеть, что параметр о с точностью до аддитивной посто-янной совпадает здесь с канонической переменной Y\ds2\. Рассматривая заданное событие х* как переменное, получаем семейство мировых линий, касательных в каждой точке заданному полю и)\ Никакие две линии семейства не пересекаются, так как в точке пересечения они определили бы два несовпадающих касательных вектора, равных одному вектору поля и? в этой точке, что невозможно. Более того, никакие две линии семейства не касаются, поскольку точку касания можно также рассматривать как заданное событие, поэтому через точку касания, согласно единственности решения системы уравнений (1.9), проходит одна и только одна мировая линия, что противоречит определению касания.
Уравнения (1.8) и (1.9) определяют мировые линии электрических зарядов, подверженных действию силы Лоренца. Если сила Лоренца отсутствует — электрический заряд частицы равен нулю или отсутствует электромагнитное поле в окрестности частицы,— то мировая линия частицы совпадает с временноподобной геодезической линией мира Минковского. Проекция таких мировых линий на физическое (трехмерное) пространство, называемая траекторией частицы, является прямой в инерциальной системе отсчета, и, вообще говоря, не является прямой, если система отсчета не-инерциальная.
Теорема 3. Для частицы, находящейся в заданном электромагнитном поле, существует одна и только одна мировая линия, имеющая своей касательной заданный 4-вектор скорости в заданной точке физического мира и удовлетворяющая уравнениям (1.8) и (1.9).
Доказательство теоремы состоит в применении общей теоремы существования и единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (Смирнов, 1965) к уравнениям (1.8) и (1.9).
^ = «4* с»
21 Из (1.7) следует уравнение непрерывности для электрических зарядов
/V = о. але)
Действительно, если воспользоваться антисимметричностью F^ и тождеством Риччи (Эйзенхарт, 1948), то легко убедиться в справедливости равенств
Тензор Риччи /Jijlv = /?*jive симметричен, поэтому /^v==Of что вместе с (1.7) приводит к (1.10).
Уравнение непрерывности в интегральной форме выражает закон сохранения электрического заряда. Так как
Г EEE-J__Lfyz^D
то,__умножая (1.10) на инвариантный элемент объема мира
интегрируя по конечному объему D и используя теорему Гаусса (Мицкевич, 1969), находим
