Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
В идеальном случае для экспериментального нахождения метрики мира как функции события необходимо ее измерить в окрестности каждого события. Практически же достаточно измерить метрику в окрестности дискретного множества событий, образующих узлы настолько плотной четырехмерной решетки, чтобы оказалось возможным определить метрику между узлами путем интерполяции значений метрики в узлах. Плотность узлов в такой решетке зависит от заданной точности и степени гладкости метрического тензора.
§ 6. РАЗМЕРНОСТЬ ФИЗИЧЕСКОГО МИРА
Коэффициенты при неизвестных и свободные члены алгебраических уравнений (I. 43) зависят от выбора одиннадцати независимых событий, поэтому и решение этих уравнений, вообще говоря, различно для различных наборов независимых событий. Аксиомой Эйнштейна предполагается независимость решения уравнений (1.43) от набора событий, необходимая для того, чтобы решение можно было интерпретировать как метрический тензор физического мира. Поэтому метрическую природу непрерывного множества физических событий можно подвергнуть непосредственной опытной проверке. В четырехмерном метрическом пространстве в окрестности каждой точки существует десять и только десять независимых интервалов, а интервал между любыми двумя точками данной окрестности выражается через координаты этих точек и десять интервалов, взятых в качестве независимых.
Tl Cfl~4- 1)
Вообще, в /г-мерном метрическом пространстве имеется ^
независимых интервалов. Поскольку каждые две точки опреде-ют один интервал, то наименьшее число точек в окрестности
данной точки пространства, определяющих п(п 1 * независимых интервалов, равно п+1. Эти точки образуют фигуру — п-мерный симплекс. Задание п+1 вершин вместе с n^n ^ сторонами какого-либо я-мерного симплекса эквивалентно заданию метрики. Однако задание сторон я-мерного симплекса естественно для математики, но не для физики — эти стороны должны быть измерены! Если же потребовать, чтобы все измерения в окрестности данного события были локализованы на мировой ли-
57 нии частицы-прибора*, то задание вершин п-мерного симплекса Ke достаточно еще для измерения некоторых его сторон, не имеющих с мировой линией прибора общих точек. Поэтому наименьшее число точек в окрестности данного события, определяющих
п(п+ 1) ^
-—~—независимых интервалов, которые имеют общую точку
и могут быть измерены одним прибором, равно n^n 2 ^ +!•
В физическом мире число этих точек равно одиннадцати, поэтому любой набор одиннадцати независимых событий, определяющих десять независимых интервалов с одной общей точкой, соответствует одному метрическому тензору мира. Если имеются два набора независимых событий, для которых составлены уравнения (1.43), то решение уравнений для одного из наборов, будучи подставлено в правую часть уравнений для другого, обращает последние в тождество, и наоборот. Это является следствием равенства размерности физического мира четырем.
Если бы существовало хотя бы два набора одиннадцати независимых событии, соответствующие измерения для которых привели бы к двум разным решениям уравнений (1.43), то это означало бы, что размерность мира больше четырех, а события каждого из наборов принадлежат двум разным 4-мерным поверхностям объемлющего пространства. Независимо от сигнатуры n-мерного пространства, в которое был бы вложен физический мир в этом случае (в частности, сигнатура 5-мерного пространства может быть равна единице или трем), должны были бы существовать и такие наборы независимых событий, для которых детерминанты ^ = Jgr составленные из правых частей (1.44), больше нуля. Тогда как из равенства сигнатуры физического мира двум (аксиома Эйнштейна) следует, что для измерений в любой точке физического мира должно быть g<0.
С другой стороны, в л-мерном метрическом пространстве детерминант метрического тензора отличен от нуля в окрестности любой точки пространства. Предположим противное. Пусть g=О,
* Конечно, всякий реальный прибор не является математической точкой, а его история не описывается мировой линией Это — идеализация, которая отражает предположение о возможности измерений с помощью этого прибора в окрестности, выходящей за пределы собственного объема прибора, точнее, за пределы мировой трубки, представляющей собой историю прибора в физическом мире. События — отражения световых линий (например, P3 на рис. 1) — строго говоря, не являются частью прибора для измерения интервала (см. § 5), по крайней мере, не принадлежат его измеряющей или регистрирующей части. Непосредственно измеряются промежутки собственного времени между данным событием и событиями испускания и приема светового сигнала, поэтому измеряющим прибором являются часы для измерения собственного времени, а измерения локализованы в мировой трубке часов. Подобным образом измеряется, например, расстояние до Луны. Помещение с этой целью на Луне уголкового отражателя дает практические преимущества, но не является принципиальным.
58 a JLi и V пробегают значения от 1 до п. Тогда система алгебраических уравнений
