Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
50 осуществляет такое отображение событий мировой линии частицы на ее состояния, при котором абсолютное значение интервала ds между событиями {х* } и {х* + dx*} равно промежутку собственного времени di между двумя состояниями, соответствующими этим событиям. Значение dx равно
dz = V\g~dFd7\ , (1.35)
если события {х* } и {х* + dx*} принадлежат мировой линии частицы или вектор dx* является касательным к мировой линии. Собственное время с точностью до аддитивной постоянной совпадает с каноническим параметром з мировой линии. В собственной системе отсчета
d~. = \V~wdx»\ (1.36а)
X =T
X0 2
j V- goo = const) dX"
(І.Збб)
Измерение интервала между любым событием мировой линии частицы и некоторым другим событием, не лежащим на мировой линии, но принадлежащим достаточно малой окрестности данного события, можно свести к измерению промежутков собственного времени частицы на мировой линии.
Теорема 10. Пусть P0, Pi и P2 — события на гладкой мировой линии 7 частицы, a P3 — не принадлежащее 7 событие, такое, что события Px и P3, P2 и P3 попарно принадлежат световым линиям. И пусть т (P0, PlJ = Xb X (P0, Р2) = х2, а ;2 — абсолютное значение квадрата интервала между P0 и P3. Тогда для любого наперед заданного значения є существует такое S, что J ? — У X1 х2 I < ?, если X1 < 8 и T2 < Ъ.
Доказательство. Обозначим 4-векторы (P0P1) и (P0P2) через Ах* и AjcJ" ,(P0P3) — через dx* , a (P1P3) и (P3P2) — через у* и п* соответственно; dx* = le*, причем е* е^ — — 1 для вре-менноподобного и е* е^ = 1 для пространственноподобного интервала (P0, P3). Эти векторы связаны между собой двумя равенствами (рис. 1):
^ = fa* _ AjcJl , = Лх* - dx* . (1.37)
Для гладкой в точке P0 мировой линии существует ненулевая окрестность, в которой имеет место равенство
Ах> (0) = о + о' + О (<,»). (1.38)
51 Действительно, введем геодезическую систему координат X'* и разложим левую часть уравнения мировой линии в окрестности Po в ряд Тейлора. Если линия гладкая, то радиус сходимости ряда Тейлора отличен от нуля. Тогда
(о) = +
J_йиГ>-2 <fe I0
о2 + 0( а3).
Если заменить производную
da I
на абсолютную производную
Sa |о
, что допустимо в геодезической системе координат, то мож-
но видеть, что правая часть равенства будет суммой векторов. Это означает, что компоненты 4-вектора (PoP), определяемого двумя событиями на мировой линии, равны разности координат событий в геодезической системе координат, поэтому, подставляя Axf* (о) в левую часть вместо х'*(<з) — х'1 и возвращаясь к исходной системе, получим (1.38).
Рис. 1. Здесь схематически изображено, как с помощью измерения только промежутков собственного времени на мировой линии частицы (вертикальная прямая) можно измерить временноподобные (/ и 3) и пространственноподобный (2) интервалы (каждому интервалу соответствуют две световые линии (пунктирные прямые)). Например, если T1—промежуток собственного времени между событием P0 и событием P1 отправки светового сигнала, и т2—между P0 и событием приема сигнала Ръ отраженного в P3, то вре-менноподобный интервал (P0, P3) равен YzIz-I • Аналогично во втором и третьем случаях.
В соответствии с последовательностью событий P0, P1 и P2 векторы Ах* и Ах* выражаются следующими равенствами:
1) P0 < Pl < P3, е"Ч=-1
1 Ьи»
2) Р,<Р0<Р2, е* <V=1
(І.39а)
(1.396)
'52 3)Pi<Pi<Po, e* ^=-I
Ax* = — и Ax* = — и
+ о(«).
(I.39b)
По условию теоремы, события Pi и P3, P2 и P3 соединены изотропными геодезическими (теорема 6). Используя разложение в ряд Тейлора левой части уравнения (1.16) в окрестности событий Pi и P2f векторы v\* и г\* можно представить аналогично Ах* в виде
где X1 и X2- параметры вдоль изотропных геодезических, а dx*
--изотропный вектор.
Подставляя (1.39) в (1.37) и вычисляя квадраты нормы правых частей с точностью до малых четвертого порядка, а также учитывая, что квадраты нормы левых частей равны нулю в соответствии с (1.40), получаем
1) E2 ++ + 0(X4) = Oe
I2 + х25 + 2Ex2C1 +Ex2 C2 + О (X4) _ 0;
2) E2 - x2 + 26^ -Ex2 C2 + О ( x4) = О, E2 - x2 - 2Ex2Cj - Ex2 C2 + О ( x4) = 0;
3) E2+ X^-^Ex1C1+ Ex2 C2+ О(х4) = 0; E2+ х] - 2Ь2Сг + Ex2 C2 +О (X4) = 0;
здесь Cl=CaUu, С2 = еащо.
Во всех случаях из выписанных равенств следует
Правая часть (1.41) стремится к нулю, когда X1-^O и х2->0.
(1.406)
(1.40а)
E-Kxlx2 = 4" Т1 т2с2 + 0 ( х3) •
(1.41)
53 Поэтому, если положить
е= 4"82С2+0(53)|,
то
h-Vr^I <«.
причем є стремится к нулю как б2. Таким образом,
Iim -J= = If
или
E =V^. (1.42)
Формула (1.41) справедлива также, если Ti или тч равны нулю, но смысл ее в этом случае тривиален, так как события Po и P3 тогда связаны изотропией геодезической, интервал вдоль которой по определению равен нулю.
Замечание. Область применимости формулы (1.42) при заданной точности зависит от значения первой, второй и третьей кривизны мировой линии частицы. Если первая кривизна равна нулю, то C2 = O, и праєая часть (1.41) есть малая уже третьего порядка по т, пропорциональная второй кривизне, а если и вторая кривизна равна нулю, то она есть малая четвертого порядка, пропорциональная третьей кривизне. В соответствии с этим увеличиваются размеры области мира, в которой при заданной точности имеет место формула (1.42). Если мировая линия частицы— геодезическая, то правая часть (1.41) равна нулю, а формула (1.42) представляет собой точное равенство во всей той области мира, в которой две геодезические, исходящие из одного события, не пересекаются. Равенство (1.42) для случая, когда, мировая линия частицы является геодезической (свободная частица), а измеряемый интервал — пространственноподобный, впервые было предложено Вигнером (Wigner, 1957).
