Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
О характере поправочных функций в общем случае судить невозможно без предварительного решения уравнений Эйнштейна вместе с уравнениями движения и связями между динамическими переменными. Исключением является квазистатический случай, представляющий в то же время принципиальный интерес. Предположим в соответствии с квазистатичностью, что в системе отсчета, в которой метрика мира Минковского приводится к галилееву виду B00 = — If е01 =0, Bik 1, если i = kt и elk=z 0, если і ф k% производные Xjav по времени пренебрежимо малы по сравнению с пространственными производными. Тогда
di = - (А + BlXi)2 (dx0)2+ {dx1)2 + [dx*)2+ {dxj ,
=Z Є IJL V JJLV
(1.29) ^00=-I-AX00 +О (Х2),
где А — оператор Лапласа. Введя вместо g*00 функцию <р такую, что ^00 = — е~2? и, следовательно, 2<р = X00 + О (X2), перепишем /?00 = А ? + 0(Х2). (1.30)
Если в рассматриваемой области D отсутствуют массы, создающие гравитационное поле, или вкладом тензора энергии-импуль-са внутри области можно пренебречь по сравнению с тензорами источников, находящихся вне области, то уравнения Эйнштейна (1.17) внутри нее принимают вид R^ = O. Следовательно, функция ф удовлетворяет в этом приближении уравнению Лапласа
Acp = O, (1.31)
как и гравитационный потенциал в теории Ньютона.
Если потребовать еще, чтобы гравитационное поле было достаточно слабым, то размеры рассматриваемой области мира можно увеличить так, чтобы в нее входили и источники поля. Под слабостью поля здесь понимается малость поправочных функций Xjav. Подчеркнем, что если в предыдущем случае малость поправочных функций вытекала как следствие достаточной малости области D без предположения об интенсивности гравитационного поля, то теперь требуемая малость поправок как раз и выражает необходимое условие слабости поля тяготения во всей заданной области. При сделанных предположениях, включая и квазистатичность поля, а следовательно, и малые скорости источников, всеми слагаемыми тензора энергии-импульса можно пренебречь по сравнению с массой покоя, так что
U0 = \ , U1 = О, T00=^1 Toi = Tlk = O, Г=-ц. Переписав уравнения Эйнштейна в виде
^, = -«(^-4-^7*) (L32>
и воспользовавшись (1.30), получим уравнение для <р
Аср = --!-*^ (1.33)
Сравнивая его с уравнением Пуассона для потенциала cpn Ньютона, находим
? = ?N + const, X == 8тгТ. (1.34)
Постоянная в (1.34) определяется условиями нормировок потенциала Ньютона и функции <р метрического тензора.
Принцип соответствия 2. В квазистатическом гравитационном поле существуют области мира Df содержащие u-область грави-
4—14
49 тационного взаимодействия, принадлежащую, по крайней мере, одному из событий Df внутри которых при заданной точности логарифм абсолютного значения временного компонента метрического тензора мира удовлетворяет уравнению Лапласа. В слабом квазистатическом гравитационном поле существует содержащая источники область мира, внутри которой при заданной точности этот логарифм удовлетворяет уравнению Пуассона для потенциала Ньютона.
§ б. ИЗМЕРЕНИЕ МЕТРИКИ ФИЗИЧЕСКОГО МИРА
Возможность соотнесения числовых результатов измерений в физическом мире с теоретическими представлениями и изоморфного отображения наблюдаемых явлений на теоретическую картину связана, в первую очередь, с понятием собственного времени и возможностью его измерения. Рассмотрим некоторую частицу, история которой изображается мировой линией. В собственной системе отсчета частица покоится, ее мировая линия есть множество чисел {х°, Jyi^const), а ее 4-вектор скорости и* имеет компоненты \l/V—goо» О, 0, 0). Состояние частицы не исчерпывается четырьмя числами (л0, х'}, фиксирующими ее положение нл мировой линии. Оно описывается или может описываться некоторым набором чисел, отвечающим каким-либо внутренним и внешним переменным состояния, так что каждому состоянию соответствует свой набор чисел.
Важнейшим свойством, присущим состоянию, является его изменяемость. Изменение состояния происходит не случайным образом, а в соответствии с определенными причинно-следственными связями внутренних переменных состояния между собой и с внешними переменными. История частицы есть непрерывная смена одного состояния другим, так что на линейном непрерывном множестве состояний существует выделенное направление, характеризуемое понятиями «прошлое» и «будущее». Упорядоченность состояний в смысле прошлое — будущее или раньше — позже называют иначе изменением состояния в собственном времени. Существование линейного непрерывного причинно-упорядоченного множества состояний и обеспечивает принципиальную возможность введения понятия собственного времени и его измерения.
Аксиома 1. Абсолютное значение интервала мировой линии частицы равно элементу ее собственного времени.
Основанием аксиомы служит предположение, что упорядоченное множество состояний частицы равномощно множеству событий на мировой линии, и вследствие этого существует одно-однозначное соответствие между событиями мировой линии и состояниями частицы. Справедливость этого предположения априори неизвестна, но если оно имеет место, то содержание аксиомы сводится к утверждению, что метрический тензор физического мира
