Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Составляя из левых частей уравнений (1.26) компоненты тензора Риччи, можно выразить также тензор Эйнштейна (левую часть уравнений Эйнштейна):
о0)(х)= (1.276)
, . і до),. ,
0„(* I=-T-^e" + 2V". - '.>< + р<> +
_ а« + (Jr)J. (і.27в)
Теперь докажем теорему единственности решения уравнений Эйнштейна в пустоте для частного случая данных Коши.
Теорема 8. Если на заданной пространственноподобной гиперповерхности такой, что модуль ее нормали удовлетворяет уравнению!-^-) = 0, кривизна и коэффициенты второй квадратич-v 5 J\ik
ной формы равны нулю, то пустой физический мир является миром Минковского.
Выпишем уравнения Эйнштейна для пустоты, воспользовавшись равенствами (1.27), в виде, разрешенном относительно производной (Oift вдоль нормали:
P+ VtkVlkO9 (1.28а)
= (1.286) I diaIk с'а п . л П П . t' ( 1 \
Т"дх~а =pO + 2^ - + * (т )|и -
— -T hIk + ^nf"' — (ш" )2) • (1.28в)
Тензор Риччи гиперповерхности Pik, а поэтому и Pt содержит только коэффициенты hik и их производные на гиперповерхности. Операторы дифференцирования на гиперповерхности и вдоль
46 нормали к ней хотя и не коммутируют, но связаны между собой соотношением
дх п
е'а д
Є' дх'а[дхп
U = COnst
д In 6
(I)=Const
дхп
O=COnst
Ja А-
Zr дх * '
справедливость которого легко проверить в штрихованной системе координат. Поэтому производная Pik степени а вдоль нормали к гиперповерхности является однородной алгебраической функцией производных Iiik степени не выше а вдоль нормали и их первых и,вторых производных на гиперповерхности, или, если учесть-(1.25), однородной алгебраической функцией ош, производных сOik вдоль нормали к гиперповерхности степени не выше а—1 и их производных на гиперповерхности. Следовательно, если со^ и их производные вдоль нормали до (а—1)-й степени включительно равны нулю на гиперповерхности, то равны нулю на гиперповерхности и все производные Pik вдоль нормали до а-й степени включительно.
В свою очередь, производная соіЛ (а—1)-й степени вдоль нормали к гиперповерхности, удовлетворяющей условию теоремы,, является, согласно уравнению (1.28в), однородной алгебраической функцией cofft и их производных вдоль нормали до (а—2)-й степени включительно, если а^ 2. Но по условиям теоремы coift и Pik равны нулю на гиперповерхности, а из уравнений (1.28в) следует, что и первая производная coift вдоль нормали равна нулю на гиперповерхности. Следовательно, соіл и Pik равны нулю и в окрестности заданной гиперповерхности. Тензор Риччи трехмерного пространства есть однородная линейная алгебраическая функция компонентов тензора кривизны (Эйзенхарт, 1948), поэтому в окрестности заданной гиперповерхности равен нулю и тензор ее кривизны. Нулевым значениям соіл и Pijbl соответствуют^ согласно (1.26), нулевые значения тензора кривизны мира в окрестности гиперповерхности.
Заметим, что в доказательстве теоремы использовались только уравнения (1.28в). Но как данные Коши теоремы, так и полученное решение уравнений (І.28в) в окрестности заданной гиперповерхности удовлетворяют уравнениям (1.28а) и (1.286). Это — частное проявление теоремы 26, утверждающей, что система уравнений Эйнштейна (1.17) находится в инволюции.
Гиперповерхность с данными Коши, для которой доказана теорема 8, имеет специальный вид. Но данные Коши теоремы и вид гиперповерхности связаны взаимно однозначно.
Теорема 9. Если на пространственноподобной гиперповерхности в мире Минковского кривизна и коэффициенты второй квад-
47 ратичной формы равны нулю, то модуль ее нормали удовлетво ряет уравнениям
Смысл этой гиперповерхности заключается в том, что она совпадает с трехмерным физическим пространством в невращающей-ся ускоренной системе отсчета. В каждый момент времени поле абсолютного ускорения перпендикулярно некоторой движущейся плоскости, обратно пропорционально расстоянию от нее и имеет противоположные направления по ее разные стороны. Сама же движущаяся плоскость является горизонтом (Пенроуз, 1972) для любой частицы, покоящейся в этой системе отсчета. Выбором подходящей координатной сетки квадратичную форму мира можно привести в ней к виду
где А и Bi — произвольные функции времени. Если Bi=Of то система отсчета инерциальная, если Л = 0, а ?i=const, то каждый элемент системы отсчета релятивистски равноускорен в направлении B1.
В случае произвольной гиперповерхности данные Коши, определяющие единственность мира Минковского как пустого физического мира, неизвестны.
Рассмотрим в окрестности заданного события некоторую область мира D1 включающую ^-область гравитационного взаимодействия, принадлежащую событию. Согласно определению 5, в этой области нельзя пренебречь при заданной точности влиянием поля тяготения на физические явления, поэтому и кривизна в ней будет отлична от нуля. Однако в силу непрерывности отличие геометрии мира от мира Минковского в пределах выделенной области будет мало, если размеры ее незначительно превышают v-об-ласть. В этом случае метрику можно представить в виде суммы метрического тензора Ejav мира Минковского и малых поправочных функций, :
