Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Основанием принципа соответствия являются экспериментальный характер физики, который проявляется, в частности, в существовании и-области взаимодействия (определение 5), и универсальная слабость гравитационного взаимодействия. Кроме того, с физической точки зрения, геодезические системы координат интерпретируются как системы, связанные со свободным телом (например, свободно падающий «лифт Эйнштейна»). Согласно же принципу соответствия, в окрестности любого, в том числе и несвободного, тела существует область мира Минковского. Если рассматриваемое тело не свободное, то в системе отсчета, связанной с этим телом, вообще говоря, не существует координатной
43 сетки, в которой квадратичная форма окрестности тела сводилась бы к виду (1.24), хотя эта окрестность и является миром Минковского.
Например, область мира, ограниченная некоторой площадкой, помещенной в лаборатории на поверхности Земли, может считаться при определенной точности областью мира Минковского, в которой допустимо использовать специальную теорию относительности, игнорируя кривизну физического мира, обусловленную полем тяготения Земли. В течение же короткого промежутка времени (который, однако, значительно больше характерного времени атомных и тем более ядерных процессов) и все пространство лаборатории является миром Минковского, чем объясняется отсутствие каких-либо «следов» влияния массы Земли на микроявления. Предположим теперь, что заданная точность достаточна, чтобы обнаружить разность хода лучей в оптическом опыте Май-кельсона и Гейла (Michelson, Gale, 1925). Конструкция прибора в опыте и время пробегания лучей (10_5с) удовлетворяют условиям, при которых область, занимаемая лабораторией, является миром Минковского. В опыте Мэйкельсона и Гейла обнаруживается, как известно, влияние суточного вращения Земли на оптические явления. Но на вращающемся теле, даже при условии равенства кривизны мира нулю всюду, квадратичная форма имеет негалилеев вид. Таким образом, хотя данная область мира и является при указанных условиях областью мира Минковского и удовлетворяет принципу соответствия, квадратичная форма в ней не приводима к виду (1.24) из-за вращения лаборатории вместе с поверхностью Земли. Чтобы привести ее к виду (1.24), необходимо лабораторию либо сбросить в шахту («лифт Эйнштейна»), либо забросить на орбиту искусственного спутника. Но это уже будут другие лаборатории.
В общей теории относительности, таким образом, должен выполняться принцип соответствия 1.
Уравнениям Эйнштейна для пустого физического мира удовлетворяет мир Минковского, но этим еще не обеспечивается выполнение принципа соответствия. Мир Минковского — не единственное решение. Мир Тауба — только пример из многих возможных решений с отличной от нуля кривизной мира. Поэтому следует убедиться, что при определенных начальных условиях (данные Коши) мир Минковского является единственным пустым физическим миром. Аналогично обстоит дело, например, в классической электродинамике. Уравнения Максвелла — Лоренца допускают отличное от нуля решение и в том случае, если в пространстве вообще отсутствуют электрические заряды, никогда не существовали раньше и не появятся в будущем. Но нулевое решение является единственным, удовлетворяющим условию отсутствия электромагнитного поля в начальный момент. Именно этим обеспечивается то, что электромагнитное поле никогда не существовало в прошлом и не появится в пространстве в будущем.
44 Пусть пространственноподобная гиперповерхность задана уравнением со (л:0, Jcl')=const. Абсолютное значение ее нормали
?а = обозначим через На гиперповерхности определены
OJC
коэффициенты hik первой и сот. второй квадратичных форм (Эй-зенхарт, 1948).
Лемма 2. Коэффициенты второй квадратичной формы на каждой координатной гиперповерхности из семейства cdxl")=const, ортогональной временной координате, равны половине производной коэффициентов первой квадратичной формы вдоль нормали к гиперповерхности.
Если goii^O, то можно ввести штрихованные координаты
Jt/0 = co(x), JT1'= g)1'(Jt) ,
где функции со1" (х)—три независимых решения (Смирнов, 1965) уравнения
JXV do) до»*
6 дх* дхv
В этих координатах g0Q (х') = — ^, ^oi=Of уравнение семейства принимает простой вид х0 = const, а ? * = g 0<х (х ). Коэффициенты первой квадратичной формы совпадают здесь с компонентами glk метрического тензора, а несложные вычисления второй квадратичной формы приводят к формуле
6'
2 Bikt о-
Но
поэтому
lg -u' dJ^ - -J.^ S'
1 dhIk V (U — —---;— . —г
lk * дх * 6
(1.25)
в соответствии с леммой.
Тензор Римана — Кристоффеля физического мира можно выразить в этих координатах через соответствующий тензор Plkln гиперповерхности и коэффициенты ее квадратичных форм. Компоненты Rljkl и Roljk проще найти из уравнений Гаусса и Кодацци, a Rl00k непосредственно вычислить:
Я'ии (*') = pIjki + ^ji ~ »и*» . (Ь26а)
Kijkix)Ku(1-266)
45 (І.26в)
П ( J\ 1 Г да>'" t'« I 1 \ 1 L«J ) = T F5-5P=-6 - (TJltt - TA
здесь вертикальной черточкой в индексе обозначено ковариантное дифференцирование по соответствующей координате на гиперповерхности.
