Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве элементов некогерентной жидкости в исследуемой области мира можно рассмотреть систему свободных пробных частиц. Ее тензор энергии-импульса выражается равенством (1.18а), поэтому движение таких частиц также удовлетворяет уравнениям (1.20а) и (1.21). Пробной частицей называется такая частица, влияние которой на решение уравнений Эйнштейна пренебрежимо мало во всех точках физического мира. Если обозначить через решение уравнений Эйнштейна, когда правая их часть включает тензор энергии-импульса пробной частицы, а через g (я) — решение в отсутствие тензора, то условием
«пробности» является неравенство | g^ (*) — g^ (х) J < є, где є —
наперед заданная положительная малая величина, значение которой зависит от конкретных условий. Тогда решение g^v (х) представляет внешнее для пробной частицы гравитационное поле, а мировая линия (1.21) пробной частицы — ее движение во внешнем гравитационном поле. Существование пробных частиц — в том смысле, что всегда можно ввести частицу, рассматриваемую как пробную,— в любом гравитационном поле обеспечивается тем, что влияние тензора энергии-импульса пробной частицы пропор-
36 дионально ее массе, тогда как уравнение (1.21) от \і не зависит. Поэтому всегда существуют такие значения ^о(е) и є, что
Следствие 3. Мировыми линиями (линиями тока) свободных частиц (некогерентной жидкости), а также свободных пробных частиц во внешнем гравитационном поле являются временноподобные геодезические физического мира.
Уравнения Эйнштейна и следствие 3 согласуются с опытом Этвеша в его втором и третьем выражениях.
Содержание следствия 3 и теоремы 6 часто называют принципом (Мак-Витти, 1961) или гипотезой (Синг, 1963) геодезических, выражая этим ту мысль, что оно является результатом независимого от уравнений Эйнштейна обобщения закона инерции механики Ньютона и световых линий специальной теории относительности на случай искривленного пространства-времени, что неверно. Такая точка зрения восходит к ранним работам Эйнштейна, взгляды которого на уравнения движения трансформировались со временем от привлечения гипотезы геодезических (1916) независимо и наряду с уравнениями гравитационного поля и тензором энергии-импульса в качестве его источника, до попыток (совместно с Инфельдом) объяснить движение вещества как движение сингулярностей поля на основании уравнений гравитационного поля для пустого пространства (1938, 1940 и 1949). Возможность реализации последних представлений Эйнштейна о веществе как о системе движущихся и взаимодействующих сингулярностей гравитационного поля в пустоте до сих пор остается неясной, хотя в этом направлении выполнен ряд работ (Инфельд, Плебаньский, 1961; Carmeli, 1965; Infeld, Michalska-Trautman, 1969). В них по-прежнему используется метод последовательных приближений, а сходимость соответствующих рядов только предполагается. Между тем даже решение этой проблемы для конечного числа сингулярностей не разрешит ее в полном объеме, так как взаимодействие большого числа (практически бесконечного) сингулярностей в средеподобной системе через упругие, ядерные и другие силы, очевидно, снова потребует введения динамических переменных, подобных тем, что фигурируют в тензоре энергии-импульса. Если же вещество описывается тензором энергии-импульса, то принцип геодезических является строгим следствием уравнений Эйнштейна.
Уравнение (1.20а) по аналогии с (1.10) называется уравнением непрерывности массы. Плотность массы изменяется вдоль линий тока по закону
но полная масса сохраняется в том же смысле, что и полный электрический заряд, т. е. интеграл от плотности массы по объему
SrlXv <*) ~ ^ixv (*) < если ix < Ji0.
37 пространственноподобной гиперповерхности не зависит от выбора гиперповерхности из семейства.
Рассмотрим уравнения движения достаточно сложной физической системы — сплошной среды и электромагнитного поля. Распишем предварительно для электромагнитного поля:
* J рv і Pv- Fv-0__L Cr^ Fa^ F \
4к у з; V ' a ;v 2ё г*$: M *
Приняв во внимание уравнения Максвелла — Лоренца, первый член заменим выражением — F^a Jgy а второй, переписав сначала в виде g*a Fvj Farf. v ,—суммой g^ Га (Fa^; а+F^a). Так как
р _ Z7VJ р
Г av; Jeas Г raz] v »
TO
S 1 1 аст; V 2^ 1 ver; а #
Следовательно,
^v _ _j
; V •'v *
Подставим теперь (1.18в и г) в (1.19) и учтем последнее равенство:
Заметив, что F™j\ua = pFav«vaa = 0, запишем это уравнение, как и в случае некогерентной жидкости, в виде двух:
= -/>:>., (1.22а)
-(¦8^+«4K>n^ (1-22б)
Если тензор напряжений отсутствует, т. е. среда представляет собой систему электрически заряженных частиц, взаимодействующих только через электромагнитное и гравитационное поля, то уравнение (1.22а) совпадает с (1.20а), а уравнение (1.226) сводится к уравнению движения некогерентной жидкости в электромагнитном поле
!^- + 1Vv) = P^X- (1-23)
Для системы, электрические заряды которой сосредоточены в точке, р=—р-, и уравнение (1.23) совпадает с (1.8). Сила Лоренца не постулируется, как в Классической электродинамике,
