Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
3-14
33 никаким выбором координатной сетки не может быть сведена к галилееву виду (1.6) во всем физическом мире, но это можно сделать в окрестности любого наперед заданного события или даже наперед заданной мировой линии (Fermi, 1922). Десять функ-ций ^jjlv (X), характеризующих геометрию физического мира, не могут, разумеется, оставаться совершенно произвольными, а определяются, по предположению Эйнштейна, распределением и движением вещества и потоками энергии.
Уравнения Эйнштейна. Метрический тензор физического мира определяет, помимо его геометрии, и гравитационные поля в нем и удовлетворяет дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка
= (1.17)
Источником гравитационного поля является симметричный тензор энергии-импульса материи T^ , который включает все виды вещества и все поля, за исключением гравитационного. Впрочем, энергия гравитационного поля не входит явно в правую часть уравнений Эйнштейна, в виде слагаемого тензора энергии-импульса, однако влияние гравитационного поля все же своеобразно учитывается. Дело в том, что тензор энергии-импульса не может быть задан произвольно в виде определенных функций координат, как не может быть задано и движение вещества; заданной в правой части уравнений Эйнштейна может быть лишь алгебраическая структура из динамических переменных физической системы, удовлетворяющих определенным связям между ними. Уравнения движения вещества следуют из уравнений Эйнштейна. Динамические переменные как функции координат являются решением самосогласованной системы уравнений Эйнштейна, уравнений движения и связей. Алгебраическая же структура тензора энергии-импульса и связи между динамическими переменными так или иначе содержат метрический тензор и его первые производные, которые и являются проводниками влияния гравитационного поля на источник гравитационного поля.
Например, тензор энергии-импульса среды, незаряженные частицы которой не взаимодействуют между собой (пыль, некогерентная жидкость) иначе, чем посредством тяготения, им?єт вид
(1.18а)
тензор энергии-импульса идеальной жидкости —
r? = (v.+p)uau?+pg*, (1.186)
твердого тела, вязкой жидкости и, вообще, сплошной среды самого общего вида —
Г* =\хи и9 (1.18в)
34 электромагнитного поля —
г„ = ^ ; (1.18г)
здесь |х — инвариантная функция распределения массы (или энергии покоя); р — давление; р^ —симметричный тензор напряжений, имеющий только шесть независимых компонентов, так как он удовлетворяет алгебраическим равенствам р^ії* = 0. Вывод этих формул можно найти у Ландау и Лифшица (1973), Фока (1961) и др.
Под связями между динамическими переменными, о которых упоминалось выше, понимаются, например, уравнение состояния идеальной жидкости p = f(\i), законы упругости для твердого тела и т. п. Связями для тензора электромагнитного поля являются уравнения Максвелла — Лоренца (1.7). Здесь следует оговорить, что уравнения (1.7) в сочетании с аксиомой Эйнштейна существенно отличаются от уравнений (1.7) в сочетании с аксиомой Минковского. Так как функции gav , входящие в уравнения (1.7), различны, то и решения уравнений (1.7) в том и другом случаях различны. Это проявляется, в частности, в несовпадении мировых линий распространения света в поле тяготения и в отсутствии поля, хотя и те и другие следуют из уравнений Максвелла — Лоренца (1.7). Теоремы 3—6, относящиеся к уравнениям Максвелла — Лоренца, имеют место и в физическом мире Эйнштейна, так как в их доказательстве никак не используется равенство кривизны пространства нулю. Это же относится и к теореме 2.
Тензор энергии-импульса среды содержит четыре независимые динамические переменные |х и иа, остальные определяются связями. Эти переменные удовлетворяют уравнениям движения, легко получаемым из уравнений Эйнштейна с помощью дифференциальных тождеств Бианки (Эйзенхарт, 1948).
Теорема 7. Динамические переменные ji и и* вещества удовлетворяют дифференциальным уравнениям движения
7?; =0. (1.19)
Предположим, что в исследуемой области физического мира находится только некогерентная жидкость. Подставив ее тензор энергии-импульса в уравнения движения, получим
Умножим обе части равенства на ир и учтем, что Тогда
(іша);в = 0. (120а)
= 0. (1.206)
35 Воспользовавшись теоремой 2 и заменив и касательным векторе"
ром к линиям тока среды, представим левую часть (1.206) в виде абсолютной производной 4-вектора скорости dСледовательно, уравнение (1.206) означает равенство нулю. Подставив в его левую часть вместо и? , получим дифференциальные уравнения линий тока
Элементом среды может быть и точечная частица. В этом случае плотность энергии ее является o-образной функцией. Поэтому уравнение (1.21) определяет не только линии тока непрерывно распределенного вещества (1.18а), но и мировые линии свободных точечных частиц, если понятие «свободная частица» означает, что взаимодействие ее с остальными объектами мира осуществляется только через гравитационное поле.
Входящие в (1.21) функции g^v (х), от которых зависит конкретная форма мировых линий, являются решением уравнений Эйнштейна, одно из слагаемых правой части которых есть тензор энергии-импульса частиц, движущихся по этим мировым линиям. Таким образом, движение по мировым линиям (1.21)—это движение частиц в результирующем гравитационном поле, создаваемом всеми объектами, включая и рассматриваемые движущиеся частицы.
