Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
* Вывод необходимого условия, которому удовлетворяет характеристическая поверхность, когда число уравнений совпадает с числом искомых функций, можно найти у В. И. Смирнова (1957). Обобщение его на случай, когда число уравнений превышает число функций, не представляет трудности. Для уравнений типа (1.14) необходимое условие формулируется просто: если гиперповерхности характеристическая, то ранг матрицы о)аь меньше числа искомых функций.
27 определено физическое трехмерное пространство как множество одновременных событий в физическом мире.
В каждой точке физического мира изотропная гиперповерхность электромагнитного фронта определяет изотропный 4-вектор
нормали —-, задающий в этой точке направление. Мировые линии, направление которых в каждой точке совпадает с задаваемым фронтом направлением, называются мировыми линиями электромагнитного фронта, или световыми линиями.
Теорема 6. Световые линии являются изотропными геодезическими физического мира.
Из определения следуют обыкновенные дифференциальные уравнения световых линий
dx* Jw
дх
W= Г . (1-15)
которыми одновременно определяется с точностью до аддитивной постоянной и параметр К. Если уравнение гиперповерхности задано, то правая часть уравнений (1.15) является известной функцией координат, и они могут быть проинтегрированы. Решение их в этом случае (при заданном уравнении гиперповерхности) определяет единственную световую линию, проходящую через данную точку физического мира. Вдоль всякой световой линии, как легко видеть из (1.15) и (1.13), интервал ds равен нулю.
Продифференцировав уравнения (1.15) вдоль световой линии и воспользовавшись (1.13), получим уравнения световой линии в другой форме
dte dX -U* ^v dx d\ U*
выражением которой и является теорема 6. Уравнения (1.16) не содержат, в отличие от (1.15), функцию гиперповерхности со, поэтому световые линии могут быть найдены из них и в том случае, если уравнение гиперповерхности не известно. Но теперь для определения единственной световой линии необходимо задать не только точку, через которую она проходит, но и направление ее в этой точке. В инерциальной системе отсчета в галилеевых координатах P3 = 0, и общее решение уравнений (1.16) сводится к обычному выражению для светового луча, проходящего в начальный момент времени ? = О через точку г0 в направлении единичного вектора k\
[г — г0) — tk = 0.
Замечательно, что распространение фронта электромагнитного процесса и соответственно характер световой линии совершенно
28 не зависят ни от динамических переменных самого процесса, ни от каких-либо свойств излучающей системы электрических зарядов. Какова бы ни была излучающая система зарядов, каковы бы ни были энергия, поляризация или другие величины, характеризующие волну, световая линия определяется единственным образом только ее геометрическими данными. Единственной величиной, входящей, кроме координат, в уравнения распространения света, является метрический тензор мира Минковского. Правда, необходимо подчеркнуть, что распространение фронта электромагнитной волны не зависит не от любых электрических зарядов, а только от тех, которые излучают данную волну. Если на пути рассматриваемой волны находится система зарядов, то под действием электромагнитного ноля волны заряды системы излучают, а результирующая волна складывается из вторично излученных и первоначальной волн. Характер распространения фронта результирующей волны уже зависит от динамических переменных этой системы зарядов. Если электрические заряды образуют сплошную среду, пусть даже электрически нейтральную, то результат усреднения первичного и вторичных электромагнитных полей может быть описан, как известно, набором функций электрической и магнитной проницаемостей. Эти функции определяют, в частности, и распространение фронта в среде. Математически это проявляется в том, что в уравнениях Максвелла, заменяющих уравнения Максвелла — Лоренца после усреднения их по малому объему сплошной среды (Лоренц, 1956), коэффициенты Aaab при первых производных напряженностей электрического и магнитного полей, а потому и матрица ^ab, содержат, помимо метрического тензора, функции электрической и магнитной проницаемости среды.
Однако существуют явления, которые должны оказывать влияние на характер распространения фронта электромагнитного процесса в пустом пространстве. К таким явлениям относятся гравитационные. Влияние тяготения на распространение фронта следует из опыта Этвеша и универсального закона Эйнштейна.
Универсальный закон Эйнштейна. Каждому количеству энергии любой формы соответствует определенное количество массы инертной, а каждому количеству массы инертной соответствует определенное количество энергии в какой-либо форме.
Эта пропорциональность энергии и инертности была выведена Эйнштейном (19056) из принципа относительности и уравнений электродинамики на частном примере, но через два года (19076) Эйнштейн высказал предположение о ее универсальности, а позднее (1935) привел доказательство без обращения к электродинамике. Если коэффициент пропорциональности выбран нужным образом, то универсальный закон Эйнштейна выражается равенством
