Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Для Солнца rg ^ 2,96 км. Хотя геометрический радиус ^Солнца намною больше гравитационного и квадратичная форма (IV.2) имеет смысл только в области г0<г<оо, рассмотрим для полноты форму лучей в области /^<г<оэ, имея в виду
внешний мир черной дыры.
Лучом света является проекция изотропной геодезической мира на физическое пространство, геометрия которого определяется пространственными слагаемыми правой части (IV. 2). Метрика (IV. 2) записана в синхронной системе отсчета, так как вектор
вращения X системы отсчета равен нулю. Кроме того, goi=0, по-
268* этому физическое пространство, расстояния в котором определяются, согласно (I. 107), квадратичной формой
dl2 = - !iL j dr2 + г2 {dB2 + sin2 9 dtp2),
здесь является гиперповерхностью x°=const. Поскольку геометрия пространства сферически-симметричная, то луч есть плоская кривая, поэтому, совмещая координатную плоскость 0= -у с плоскостью луча и интегрируя уравнения изотропной геодезической (1.16) для метрики (IV. 2), получаем их общее решение: для круговых лучей __
= ± rg <? + const, (IV.За)
Г = 4 V (lv-36)
для остальных лучей
~ T
—К'-^П'-М)]
dr + const, (IV.4a)
* dr const;
(IV.46)
здесь р — постоянная, значение которой лежит в интервале [0,оо). Нулевому значению р соответствует радиальный луч. В евклидовом приближении, когда rg=0, р — прицельный параметр луча.
Выражения (IV. 3 б) и (IV. 4 б) описывают формы лучей в поле тяготения изолированного сферически-симметричного тела. Значение эллиптического (или псевдоэллиптического) интеграла в правой части (IV. 4 6) зависит от корней выражения у=гъ—р2г+ + р2Tg (Богородский, 1962; Atkinson, 1965; Арифов, Кадыев, 1969). Обозначим эти корни через га, гъ, и гс. Возможны три различных случая:
3^3 г2
1) р >-?_/¦ р* =-iL-,
1 _
^ = -T-Ii
-/'+^7 )¦ ±rg<ra< OO1 г,
269* 2)
3) о < P < rg, — 3rg < га < О, rb и г, — комплексно-сопряженные.
В первом случае корни га и гь делят физическую область r[rg• на две: [г*« гьJ и Ir^' в т°чках га и гь приводная равна нулю (рис. 12), поэтому они являются точками поворота. В области Г г , существует финитная ветвь луча
Рис. 12. Фазовые кривые световых линий в поле тяготения тела с массой М\ rg = 2fM—гравитационный радиус тела; 1—финитный луч, гь— его точка поворота; 2—инфинитный луч, га— его точка поворота; точка 1,5 rg— изображение кругового луча; 3—полу финитный л>ч (верхняя и нижняя кривые соответствуют разному выбору направления отсчета >гла). На рисунке нет места радиальному лучу (его изображение принадлежит бесконечному элементу фазовой плоскости).
с координатой афелия гь, а в области [ га, оо) — инфинитная, с координатой перигелия га. Если <р отсчитывать от точек поворота, то
__ 2р [F(v, q) — инфинитная ветвь,
^ V~ra ( гь~гс ) I/7 (*t Я)—финитная ветвь, где _
/( rb - rc ) (г - ra) . (га-гс)(г-гь) '
. , / r a(r b r ) .
х = arc sin у Гь(гь_г) ,
д= if WlZ^L.
4 V ra(rb-re) •
F — эллиптический интеграл первого рода. Если р-* оо, то финитная ветвь исчезает, а инфинитная представляет собой евклидову прямую, проходящую на большом расстоянии от тяготеющего
270 центра. При малых значениях р, приближающихся к —^— rg •
инфинитная ветвь является кривой, в асимптотической части которой ф может принимать сколь угодно большие значения (луч совершает любое число оборотов около центра). Финитная ветвь
з Vs
исходит и оканчивается на сфере Шварцшильда и прир-*—^—rg
также совершает любое число оборотов. Угол у, образуемый лучом (IV. 4 6) с положительным направлением координаты г, определяется формулой
SinT=-T l/1--^ • <IV-5>
Поэтому в точках шварцшильдовой сферы лучи всегда ортогональны к ней.
Во втором случае имеется три ветви. Полуфинитная ветвь, существующая в области rg, ооj , одним концом уходит в бес-
3
конечность, а другим навивается на окружность rz=~2rg » со"
вершая бесконечное число оборотов около центра. Финитная круговая ветвь (IV. 3 б)—предельная линия, к которой стремится полуфинитная ветвь со стороны больших значений г. На графике фазовых траекторий (рис. 12) ей соответствует точка 1,5 rg. Кроме этих, рассмотренных Богородским, ветвей имеется еще одна (Арифов, Кадыев, 1969). Эта ветвь — финитная, исходит (или оканчивается) из сферы Шварцшильда и, как и полуфинитная, асимптотически приближается к круговой, но уже со стороны меньших значений г, совершая бесконечное число оборотов вокруг центра. Интеграл в правой части (IV. 4 б) в данном случае выражается через элементарные функции, поэтому
© = In-;---:---ь const.
0 г* \
В третьем случае все три корня га, гь и гс лежат в нефизической области, поэтому у луча отсутствуют точки поворота. Существует только одна полуфинитная ветвь, одним концом уходящая в бесконечность, а другим упирающаяся в сферу Шварцшильда. Значение угла ф конечное во всех точках луча.
В области пространства г0<г< оо вне Солнца финитные ветви лучей отсутствуют, как отсутствуют и такие отрезки инфи-нитных и полуфинитных ветвей, на которых изменение значений угла ф очень велико. Поэтому для практических целей удобно использовать приближенную формулу вместо точной (IV. 4 6).
