Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Ai A4 1 — (Г) -W2Zr Sin2G . /ITT 1 1 7\
А(Г' 6)=-(14- sin» QP- • "=const- (ІІІЛ17)
Известная функция X (г) определена как во внутренней, так и во внешней областях и удовлетворяет условиям непрерывности (см. § 30) на границе, а искомые функции BnF непрерывны, по предположению, вместе с производными первого порядка, поэтому Л(г,0), определенная равенствами (III. 1166) и (III. 117), принадлежит к функциям класса C1 непрерывности во всей области.
263* Следствие 23. Общему решению уравнений Эйнштейна для стационарного аксиально-симметричного источника, уравнение состояния и распределение угловой скорости вращения вещества которого заданы, а границы свободны, соответствуют два типа строения источника. Источники одного типа представляют собой жидкое тело, имеют одну, только внешнюю, свободную границу, давление и плотности массы и числа частиц принимают максимальное значение в центре и монотонно падают к границе. Источники другого типа имеют две, внутреннюю и внешнюю, границы, на которых давление равно нулю; полость, свободную от вещества и теплового излучения источника, с сингулярной времен-ноподобной мировой линией в центре; давление и плотности массы и числа частиц принимают максимальное значение на критической гиперповерхности и монотонно падают к обеим границам.
Доказательство следствия очевидно, если сопоставить теоремы 48 и 63.
Пусть введена система координат, в которой в соответствии с теоремой 63 любая граница E источника есть гиперповерхность г=const. Тогда функция А во внутренней области удовлетворяет равенствам (III. 116), непрерывна вместе с частными производными первого порядка на E
И], = И'],= о (ні. і is)
и приведена к заданной функции (например, к правой части (III. 117), если © = const) во внешней области. Искомыми функциями, удовлетворяющими уравнения Эйнштейна, являются В, D, и F. Поведение этих функций на границе следует из требований непрерывности метрики мира и равенства коэффициентов первой и второй квадратичных форм границы как гиперповерхности с обеих сторон. Непрерывность метрики мира выражается равенствами
[Bh-[D], = [її], = [F],=0 (111.119)
вместе с (III.118). Коэффициенты hik (і, ? = 0, 2, 3) первой квадратичной формы границы как гиперповерхности определяются формой (III. 104) после подстановки в нее уравнения гиперповерхности г = const:
A00 = -(1 — Л), A03 = AB sin26, A22= її, A33 = (AB2 sin2 6 + F) sin2 6, A02 = Aj3 = 0.
Равенство их значений на внутренней и внешней сторонах границы следует из (III. 118) и (III. 119). Введем единичный 4-век-тор еа нормали к границе
е«{о, -J=., о, о J1 еи{о, VD, о, о}
264* и три 4-вектора т)"і(, принадлежащих границе:
<0)11. 0. 0. OK ^2){0, 0, 1, 0), <з>{°. И»
>,.{-(! -Л). О, 0, AfisinjO), 1Jt2Ja I0' О. 0}.
7](3) a{Afi sin2 е, о, 0, (Afi2SinjSH-F)Sin2S).
Согласно (I. 176), коэффициенты to« второй квадратичной формы границы определяются следующими равенствами:
tuOO = ш02 = w23 = 0, (AB)' Sina fl U"
шоз= з Vd >Ш22 = їуЬ'
=[(AB*)'sin* В+ Г].
Из требуемого равенства значений коэффициентов второй квадратичной формы на обеих сторонах границы следуют условия на производные функций В, g7 и F:
= = П = 0. (III. 120}
В произвольных координатах уравнение границы имеет, согласно теореме 62, вид (III. 115). Коэффициенты второй квадратичной формы границы как гиперповерхности в этом случае являются довольно громоздкими алгебраическими выражениями функций А, В, и F и их частных производных первого порядка по г и 0, поэтому условия сшивания этих функций на границе значительно усложняются в сравнении с (III. 120). Глава IV
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ АСТРОМЕТРИЯ
§ 41. искривление лучей света солнцем и задачи
астрометрии
Одним из следствий релятивистской теории тяготения является эффект отклонения лучей света массивными телами (Эйнштейн, 1915). В частности, лучи, проходящие вблизи от Солнца на расстоянии r = nr^9 отклоняются на угол Др
ip^ 141:. (IVl)
Уже через несколько лет предсказанный эффект подтвердился астрономическими наблюдениями. .С тех пор основные усилия при наблюдении эффекта искривления лучей были направлены только на повторные измерения угла отклонения с целью увеличить точность экспериментальной проверки равенства (IV. 1). Между тем, отклонение лучей света Солнцем самым непосредственным образом влияет на видимое положение небесных объектов (планет, звезд, искусственных аппаратов) и должно учитываться во всякого рода астрономических наблюдениях, так или иначе связанных с измерением положения объектов. Это влияние сводится к некоторому смещению видимых положений, величина которого зависит от взаимного расположения Солнца, объекта и наблюдателя. Вследствие годичного движения Земли релятивистские поправки в видимом положении объектов меняются с течением времени, что несет в себе дополнительный источник искажений результатов наблюдения.
По характеру необходимого учета эффекта искривления лучей света все астрометрические задачи можно разделить на две большие группы (Арифов, Кадыев, 1976).
