Оптическая голография - Априль Ж.
Скачать (прямая ссылка):
є=є0+бє, (11)
где е0 — некоторое первоначальное значение диэлектрической проницаемости, а бе — приращение, обусловленное экспозицией, причем
б е=х/; (12)
здесь к — некоторый коэффициент пропорциональности, а / — функция распределения интенсивности стоячей волны, определяемая выражением (6). Волновая функция излучения, восстановленного голограммой, должна удовлетворять уравнению Гельм-гольца
у2гр+є?2ір=0. (13)
Запишем решение этого уравнения в виде суммы двух волновых функций: волновой функции гр3, удовлетворяющей уравнению 4. Пространственный и частотный варианты кинематической теории
699
невозмущенной задачи, и малого возмущения обусловленного появлением небольшого приращения диэлектрической проницаемости. Таким образом,
гИФз+Ф,. (14)
Подставляя это равенство и выражение (11) в (13), получаем
V^s+eoA^s+?e A^+v^f+eoA^+oe ?2ts=0. (15)
В этом уравнении первые два члена обращаются в нуль, в силу того что они удовлетворяют уравнению невозмущенной задачи. Третьим членом можно пренебречь, поскольку он содержит произведение двух малых величин бе и Оставшиеся три члена образуют неоднородное уравнение Гельмгольца
V4'f+e0A4|3(+6e ?4|)s=0. (16)
Решение этого уравнения записывается в виде
\ ёе kYkrdV. (17)
Подставляя сюда значение бе, найденное из выражений (12) и (6), и ограничиваясь одним слагаемым бе, соответствующим оператору G, определяемому формулой (7), в соответствии со свойством этого оператора (8) находим
^' = ?
1 г к k2\p0eiflr
dV. (18)
Это выражение по существу определяет значение, которое имеет в некоторой точке наблюдения h волна, созданная источниками, колеблющимися в каждой точке объема
fi = <МЛ)
Рис. 3. К рассмотрению пространственного варианта кинематической теории трехмерной голограммы. V — объем трехмерной голограммы; dV — элемент оСъема; h — точка наблюдения; /•-радиус-вектор, связывающий точку наблюдения с элементом объема dV; dS — один из плоских слоев, на которые можно разбить объем голограммы при интегрировании с использованием формулы Кирхгофа — Зоммер-фельда; фо (г) — волновая функция излучения объекта, восстановленная в точках объема голограммы; ф( =ф0(/г) — созданная излучением всех точек объема волновая функция, которая совпадает со значением объектной волны в точке А.
голограммы V синфазно с волной Ip0 излучения, рассеянного объектом. Действительно, как это видно из выражения (18) (см. также рис. 3), каждый элементарный объем голограммы dV испускает колебания с амплитудой ipo M- Распространяясь от объема dV де точки наблюдения h, удаленной от него на расстояние г, амплитуда испущенной этим объемом волны уменьшается обрагло пропорционально пройденному волной пути г, а набег фазы i:a этом пути равен Hihr. 700 Дополнение. Голография в трехмерных средах
Нетрудно понять, что имеющая такой смысл функция Tpf определяет волну, совпадающую по существу с объектной волной чро-Убедиться в этом можно несколькими способами. В частности, можно заметить, что выражение (18) формально совпадает с выражением, описывающим объектную волну, которая пересекла на своем пути объем V, заполненный усиливающей средой [2, 5J. Очевидно, что в результате такого усиления увеличится лишь амплитуда объектной волны, а форма ее волнового фронта останется без изменения. Другой вариант отождествления волновой функции основан на выполнении интегрирования по объему V посредством разбиения этого объема на плоские слои толщиной dS (рис. 3). В соответствии с известной формулой Кирхгофа — Зом-мерфельда интеграл по каждому такому слою с точностью до несущественного (в данном случае косинусного члена) будет равен значению волновой функции гр0 в точке наблюдения h. Суммирование по всем слоям приводит лишь к увеличению амплитуды восстановленной объектной волны.
Перейдем теперь к рассмотрению частотного представления [5, 6]. В этом случае процесс записи и восстановления трехмерной голограммы рассматривается в пространстве Фурье. Запишем волновые функции падающего на голограмму и восстановленного ею излучения в виде разложения по плоским волнам, а структуру голограммы представим в виде разложения по трехмерным гармоникам. Тогда процесс восстановления голограммы можно рассматривать как преобразование каждой плоской волны в компоненты восстановленной волны посредством отражения от соответствующих гармоник голограммы. Таким образом, основным элементом разложения структуры голограммы является пространственная гармоника. Рассмотрим свойства таких гармоник более подробно.
Предположим, что волновые функции падающего на голограмму излучения и излучения, рассеянного объектом, представлены в виде разложения по плоским волнам, и выделим по одной компоненте фь и фо из этих разложений:
где кь и к0 — волновые векторы, нормальные фронтам интерферирующих плоских волн. При этом имеет место очевидное в данном случае соотношение
фз = ?s е
,'"tSr
(19)
и
(20)
ks| = I k01 = & = 2лA1
(21)
где Xn — длина волны в среде, в которой происходит интерференция. Складывая величины ф5 и ф0 и умножая результат на 4. Пространственный и частотный варианты кинематической теории
