Оптическая голография - Априль Ж.
Скачать (прямая ссылка):
9.2.2. Описание спеклов
Объяснение спеклов мы начнем, исходя из самых простых понятий. Предположим, что у нас есть пластинка со «случайным» набором фаз, освещаемая неоднородным круглым пучком света диаметром D и длиной волны К. Согласно принципу Гюйгенса, свет, достигающий некоторой точки в пространстве после встречи с фазовой пластинкой, есть результат сложения световых волн, исходящих от каждой точки освещенной апертуры. Поскольку фазы случайны, нельзя указать точки, в которых интерференция будет конструктивной, а в которых — деструктивной, но мы можем описать интерференционную картину статистически. Раз ожидается, что она должна быть случайной, то, по-видимому, она должна иметь очень высокий контраст. Естественно, что размер спекла определяется дифракционными ограничениями, и, поскольку расстояние L^>D, мы ожидаем, что спеклы должны случайным образом распределяться в виде сигароподобных капелек диаметром
Теперь мы установим без доказательства некоторые фундаментальные соотношения. Кольер и др. [4] показали, что среднеквадратичное значение флуктуации интенсивности дается выражением
Таким образом, среднеквадратичное значение флуктуации интенсивности равно средней интенсивности; иными словами, контраст случайной интерференционной картины является действительно очень высоким.
ds ^kLD
и длиной (эквивалентно глубине фокуса)
(2)
(1)
N = [(J-lfY'2 = /.
(3) 9.2. Спеклы
403
Голдфишер 17] показал, что автокорреляционная функция интенсивности (плотности мощности) спеклов записывается в виде
<В(х, у)В(х + у, у + 6)> =
I
2 пК2
f UO A
^P(u,v)dudv +-^-[Fiy, (4)
где X, у — координаты выходной плоскости, и, V — координаты входной плоскости, P (u, V) — интенсивность B ПЛОСКОСТИ UV, ft— расстояние между входной и выходной плоскостями, а
+ оо
F (у, 6) = $ $ P (ц, v) exP [2лі (Vй + Щ/Щ du dv. (5)
— OO
Заметим, что, за исключением постоянного члена, автокорреляция спеклов имеет такой же вид, как и картина дифракции поля амплитуд P (и, v) в дальней зоне.
Колфилд [2] заметил, что это в действительности имеет место лишь в том случае, если равные по площади фазовые участки можно считать распределенными равномерно. Для фазовых областей вида s(u, v) полное поле имеет форму пространственного спектра мощности S(и, и). Например, один из «рассеивающих киноформов» автора при освещении его однородным пучком формировал общую высокоанизотропную картину, поскольку рассеивающие элементы киноформа были анизотропными. Из-за существования поля P (и, v) сами спеклы, разумеется, оказались анизотропными.
Спектральная зависимость спеклов лучше всего описана Джорджем и Джейном [6]. Полученный ими результат требует вычисления многих величин. Для удобства мы проведем вычисления в случае одной пространственной координаты. Частота света v преобразуется в круговую пространственную частоту
г]= (2 л ts.nl с)V, (6)
где An — разность между показателями преломления рассеива-теля и среды, а с — скорость света. Пусть и — входная координата, X — выходная координата, a ft (и) — высота рассеивателя. Предположим, что /(fti, ft2) — совместная вероятность того, что hi—h{u), a ft2=ft(H+6«). Пусть
+ OO
г (А*) = $ h(x)h(x + Ax)dx. (7)
— OO
Теперь можно написать частотную характеристическую функцию
-+¦ оо
Fc(4i, 4«) = SS^ftl' h^exPL- ! OlA+ IbM1^i dhZ- (8) 404
' проблемы голографии
Мы предполагаем пространственную инвариантность системы формирования изображения с импульсным откликом г(х, л), который преобразует падающее поле g(x, ч) в выходное поле: е(х, y\)=g(x, т|)*г(*, її);
здесь знак * обозначает операцию свертки. При этом сигнал, детектируемый по квадратичному закону, запишется в виде
«(*. Л)=е(*, Ц)е*(Х, Г)).
Теперь мы можем вычислить автокорреляционную функцию и(х, Tl):
= # [и (А+Дх, Лї)и*(*, Лі)1. (10)
где квадратные скобки означают среднее значение по ансамблю. Нам нужно вычислить величину
/?2=<?[г (л' + д^ г]2) г*(х, %)]•
Джордж и дЖейн l6J нашли, что
Ru (A*, Tll, = Пі)] ?[«(* +Ах, ч«)] +
+ 1^(-%. л»:'(V)) Я,(А*-V' tIi' 4*)dy\2- (12) Проинтерпретируем эту внушительную формулу. Сущность ее состоит в том, Что источник с шириной спектра излучения
Av= (с/2яДп) (Tlr^ni) (13)
обладает длиной временной когерентности
I = - = -^1 (14)
с Av •
Если неоднородНости рассеивателя малы по сравнению с /с, то мы получаем когерентное сложение света по всей глубине рассеивателя. Если расширить ширину полосы частот Av источника, то величина Ic уменьшится и можно будет достичь положения, когда размер неоднородности станет больше Ic. В этом случае картины спеклов, получаемые с различных глубин рассеивателя, будут взаимно некогерентными и произойдет сглаживание или усреднение картины.
Подведем итоги тому, что мы узнали. Спеклы возникают при наличии источника с шириной полосы частот Av и центральной частотой V излучения, освещающего участок рассеивателя размером би X би с характеристикой оптической неоднородности Id в элементе размером ДыхАу, а наблюдение проводится в плоскости ху, расположенной на расстоянии /гот плоскости рассеивателя. Какой же можно сделать вывод о наблюдаемой картине спеклов? Эти ВЫВОДЫ следующие-
