Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
+Mb+M2,+ ••• +Mav = O,
Y4 + IlBu +X2B2, H----+хАяА, = о,
Z,+X1Cb+ X2C2,+ ... +IhChl = 0
(V = 1, 2.....п).
179. Приложение принципа возможных скоростей к равновесию нитей. Пусть ds— элемент нити и Xds, Yds, Zds — проекции равнодействующей приложенных к нему внешних сил. Для возможного перемещения, сообщенного элементу ds, работа этой силы равна
(ХЪх + Yby+ Zbz)ds,
где Bjc, 8у, Ъг должны рассматриваться как функции дуги s, так как каждый элемент нити получает перемещение, изменяющееся с его положением на нити. Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ
I
JT= J (ХЪх+ KBy+ Zbz) ds о
была равна нулю для всех перемещений, допускаемых связями. Допустим для определенности, что нить закреплена обоими концами; тогда Bjc, 8у, Ъг обращаются в нуль на обоих пределах интеграла. Так как, кроме того, нить нерастяжима, то
т+т+т^. глава VTH. принцип возможных скоростей 237
откуда, выражая, что вариация левой части равна нулю и замечая, что ва-
*dx dbx
риация производной равна производной от вариации, например, 5 — = ^ , получим
dx dbx dy d by dz dbz _
ds ds ' ~ds ds ds ds ~ '
Это условие показывает, что в качестве Вд- и By можно принять произвольные функции от s, обращающиеся в нуль на пределах 0 и /; Ъг определяется из соотношения (2):
dЪг j dx dbx dy dВу\
-(
ds \ dz ds dz ds j' Отсюда, интегрируя и замечая, что Ъг обращается в нуль вместе с s, получим
ds dz ds
Но необходимо, чтобы обращалось в нуль и на втором конце, где : і, следовательно, Вд- и By должны удовлетворять условию
(3)
Необходимо теперь выразить, что а) обращается в нуль, для любых функций Вд-, By, Ъг, обращающихся в нуль на пределах и удовлетворяющих соотношениям (2) и (3). Обозначим через X пока произвольную функцию дуги s и через k — постоянную. Имеем
і
сГ = f[(Xbx + Yby+Zbz)ds + \(^dbx + ^dby +-grfB^-f
х+г-і,)].
Интегрируя последние члены по частям и полагая T = — (^+^"^г)'
мы можем написать
і
g=f{[xds+d(Td^)]bx +
+ [Yds + d{T%)]dy + [zds + d{T^z),
так как проинтегрированная часть обращается в нуль на пределах.
Для того чтобы было равновесие, необходимо и достаточно, чтобы это выражение JT было равно нулю, каковы бы ни были функции Вд-, By и X от s. Распорядимся функцией X так, чтобы обратить в нуль коэффициент при Вг. Тогда оставшееся выражение должно обращаться в нуль, каковы бы ни были функции Вд; и By в промежутке (О, I); для этого необходимо, чтобы 238 ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
коэффициенты при 8л: и Ьу были также равны нулю. (Это рассуждение аналогично рассуждениям в п. 177). Таким образом получаем уравнения равновесия
*<" + а(Т§) = 0, Yds + d(T%) = О, Zds+d(T§)=0,
совпадающие с теми, которые были установлены непосредственно.
Частный случай. Допустим, что X, Y, Z являются частными производными функции U (х, у, г, s) по х, у, г\
v _ dU v dU _ dU z==d7-
Тогда
і і j (Xbx+Yby+ Zbz)ds = h j U(x,y, z, s)ds,
о 0
и, следовательно, для получения положения равновесия нужно искать координаты x, у, г в функции величины S, обращающие в максимум или минимум интеграл
J U (х, у, z, s)ds
при условии (1). Например, для неоднородной тяжелой нити вес элемента ds ,имеет вид gy(s)ds; направив ось z вертикально вверх, имеем
U = — gz<f (s),
и положение равновесия обращает в максимум или минимум интеграл
і
— gfz?(s)ds,
о
т. е. высоту центра тяжести.
В общем случае, для определения натяжения имеем уравнение
dT + Xdx + Ydy + Z dz = О,
Которое при рассматриваемом предположении обращается в
. dU . , dU . , dU j dT + ^dx+^dy + 1-dz = 0.
Но при увеличении S на ds имеем
... dU . , dU . , dU . , dU . dU = -г— dx 4- -j— dy 4- -г— dz + -3— ds, dx 1 dy dz ds
откуда
dT + dU — 4^- ds = 0. ds
Следовательно, если U не зависит от s, то получаем
T + U = Н,
как мы это видели и ранее (п. 137). В этом частном случае, когда U не зависит от s, только что изложенная теория позволяет непосредственно установить результаты, уже полученные в параграфе III, главы VII; таким образом, эти результаты оказываются связанными с принципом возможных скоростей. ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
239.
V. Общие теоремы, выводимые из принципа возможных скоростей
180. Связи допускают поступательное перемещение системы параллельно оси. Допустим, что связи допускают поступательное перемещение всей системы параллельно оси, которую мы примем за ось Ох. В основном уравнении статики
2 (Xv Sxv +Tv Sjv + Zv Szv) = о,
приложенном к этой системе, для рассматриваемого частного перемещения нужно положить
Sjv = O, Szv = O, Sxl=Ox2= ... =Sxn. Вынося в нем за скобку общий множитель Sxv, получим
2XV = 0.
Для равновесия системы необходимо, следовательно, чтобы сумма проекций на рассматриваемую ось Ox непосредственно приложенных сил равнялась нулю.
181. Связи допускают вращение системы вокруг оси. Допустим, что связи допускают вращение всей системы как целого вокруг оси, которую мы примем за ось Ог. Обозначая через rv и Qv полярные координаты проекции точки (xv, Jv, zv) на плоскость хОу, имеем
