Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
D Аг' G' В' Лг
Л 232
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
будет в устойчивом положении равновесия, когда будет проходить через другой фокус Z71, как это видно, если взять вторую директрису D1Dv
2°. Тяжелая, однородная или неоднородная цепочка, концы которой закреплены или могут скользить по неподвижным кривым или поверхностям, занимает положение равновесия, являющееся тем из возможных положений, этой цепочки, при котором высота ее центра тяжести имеет максимум или минимум. Например, из всех однородных кривых заданной длины I, проходящих через две неподвижные точки, та из них, центр тяжести которой занимает самое низкое положение, является найденной ранее (п. 140) цепной линией. Отсюда следует, что если на плоскости взять неподвижную ось Ox и две неподвижные точки А и В, то из всех кривых заданной длины I, лежащих в этой плоскости и проходящих через эти точки, цепная линия опишет при вращении вокруг оси Ox поверхность наименьшей площади. В этом убеждаемся на основании теоремы Гюльдена, так как описанная площадь, равная l-2v.GG', обращается в минимум одновременно С GO'. Можно оставить в стороне условие относительно длины и вновь установить, по крайней мере частично, один полученный ранее результат. Из всех кривых, лежащих в плоскости и проходящих через А и В, та, которая описывает наименьшую площадь, является некоторой цепной линией. В самом деле, пусть С—эта кривая. Она является, в частности, одной из всех кривых такой же длины, что и сама кривая С, описывающих наимень-щую площадь. Следовательно, она действительно является цепной линией, имеющей основание, параллельное оси Ох. Остается среди всего этого бесчисленного множества цепных линий найти ту, которая описывает наименьшую площадь. Последняя, как мы видели (п. 148, пример 1), является той, которая имеет основанием ось Ох.
175. Принцип Торричелли. Мы видели как следствие принципа возможных скоростей, что для нахождения положений равновесия тяжелой
системы достаточно ^приравнять нулю вариацию высоты центра тяжести. Лагранжу принадлежит важное замечание, что если принять, как и Торри-челли, в качестве очевидного принципа это условие равновесия тяжелой системы, то отсюда можно будет вывести принцип возможных скоростей Sm, 1P во всей его общности (Аналитическая
і / механика, том 1, Статика, отдел I и
P1 'т/ отдел 111, § V). Пусть, в самом деле,
имеется система материальных то-р J20 чек ^ •¦•. Mn, на которые наложены заданные связи и действуют заданные силы F1, F2, ...., Fn (рис. 120). Рассмотрим определенное положение системы, в котором точки занимают положения In1, т2, ..., тп, а силы имеют значения /3...../п. На направлении силы /v вообразим неподвижную точку Ov на некотором расстоянии mvOv = гч. Если сместить бесконечно мало систему из рассматриваемого определенного положения, то точка mv перейдет в mv и возможная работа силы /v будет равна —/v 8л,, так как имеем (п. 84, пример 111):
ч ^fz
V
Вгч = — mvmv cos {/v, mvmv). Следовательно, сумма возможных работ сил /v будет ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ
233
Требуется доказать, что необходимым и достаточным условием того, что рассматриваемое частное положение представляет положение равновесия, является равенство нулю величины §~.
Для этого заметим, что мы можем заменить действие силы /„ натяжением нерастяжимой нити, закрепленной в точке тч, проходящей через бесконечно малый блок O4 и несущей натягивающий груз р„ равный /„. Если мы проделаем эту операцию с каждой из сил /,, то мы заменим предложенную систему тяжелой системой и первоначальная система будет служить лишь для нахождения соотношений между грузами р.,. Тяжелая система может находиться или не находиться в равновесии в том же самом положении. Но для того, чтобы тяжелая система находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы вариация ординаты центра тяжести грузов р, равнялась нулю; эта вариация определяется формулой
PK = PlIzl+ ргЪг%+ ... +pnbzn
где ось г направлена вертикально вниз, P — общий вес и Z1, г2, ..., Zn—•
координаты центров тяжести грузов рь р2.....рп. Очевидно, что Ъг„ = —Ьг.,,
так как нить т.,Очрч имеет постоянную длину. Следовательно, имеем
РК = -^р,Ъг,= -2/,»Л = S.
так как рч =/,. Для того чтобы первоначальная система была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы = 0, т. е. чтобы для любого перемещения, допускаемого связями, обращалась в нуль величина JT, что и представляет принцип возможных скоростей во всей его общности.
Примечание. Если материальной системе с нитями и с грузами plt р2, ..., Pn придать какое-нибудь положение, отличное от рассматриваемого
частного, то заданными силами будут Fb F2.....Fn, а натяжения нитей Af1O1.
MiO2, ..., равные pi, р2.....рп, будут отличаться и по величине и по направлению от сил Fi, F2, ..., Fn. Однако в рассматриваемом частном положении Tnv т2.....тп заданные силы равны натяжениям, так что если это
положение является положением равновесия системы под действием заданных сил, то оно будет положением равновесия и под действием натяжений. Но так как для положения, даже бесконечно близкого к тъ т2, ..., тп, силы F., отличаются от натяжений, то может случиться, что это положение равновесия системы будет устойчивым под действием заданных сил F4 и неустойчивым под действием грузов рч.
