Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 95

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 205 >> Следующая


xi= V ,(ft. Яг. .У, = lMft- Яг.

г, = ш, (ft. Яг.

(^= 1.2. ..

Як). ¦. Як). Як).

п).

(5)

Параметры ft, q2.....qk будут тогда координатами голономной

системы; их численные значения определяют положение системы. Для получения возможного перемещения, допускаемого связями, достаточно дать этим параметрам произвольные бесконечномалые

приращения Zq1, Zq2.....Zqk. Таким путем на основании равенств (5)

получится

8 х, = Щ-Ьдг-

дх..

ьу, 82,

дЧі

дЧі dz.,

IqT

5ft + 5ft +

dq2 ду.,

dq2 dzw dq2

Zq2 + Zq2 + Zq2 +

дхч

~dqk

дуч

&4k dz„

dqk

Zqk,

(6)

Эти формулы являются частными случаями выражений (2), поскольку правые части выражений, написанных для Satv, 8_yv, 8zv, являются полными дифференциалами функций от qlt q2, ..., qk, что не имеет места в общем случае (2).

Подставляя выражения (6) в основное уравнение статики (1), мы получим уравнения равновесия в форме

Q1 = O, Q2

Qfc = O,

(7) 230

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА

в которых

2?+1'.-?-+^)- <8>

V-I

Большинство систем, встречающихся в приложениях, являются голономными. Например, твердое тело, которое вращается вокруг оси и скользит вдоль нее, является голономной системой, так как его положение зависит от двух координат: угла-, на который оно повернулось от некоторого начального положения, и длины, на которую оно совершило скольжение от этого положения.

Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, является голономной системой, так как положение тела определяется тремя координатами, которыми могут быть, например, углы Эйлера, между осями, связанными с телом, и осями неподвижными.

Напротив, окружность, катящаяся без скольжения по неподвижной плоскости (обруч), не представляет собою голономной системы. Это вытекает из того, что обруч обладает тремя степенями свободы (п. 171) и в то же время его положение на плоскости, по которой оно катится, не может быть определено тремя координатами. Уже Лагранж рассматривал неголономные системы в своей Аналитической механике (раздел IV, п. 2, т. I, изд. Бертрана).

173. Частный случай, когда выражение возможной работы есть полный дифференциал. Полученные выше общие результаты принимают интересную форму, когда выражение возможной работы

?18?! + ?8?+ ... +Qkbqk,

где Q1, Q2.....Qk суть функции параметров q, является полным

дифференциалом некоторой функции U от параметров qu q2.....qk,

т. е. когда

dU _ dU п _ dU ^1' 4^dq2..........дЧк

В этом случае дифференциальные уравнения равновесия совпадают с уравнениями, определяющими максимум и минимум функции U. Мы покажем в динамике, что если для определенной системы значений величин q эта функция U действительно имеет максимум, то соответствующее положение равновесия является положением устойчивого равновесия (Лежен-Дирихле).

Случай существования силовой функции, т. е. случай, когда выражение

2 (-M*,+ Мл+ 2,82,)

является полным дифференциалом некоторой функции от величин jf1. ^1, Z1, х2, у2, Z2.....JCn, уп, zn, относится к только что рассмотренному, так как если заменить координаты и дифференциалы коор- ГЛАВА VIII. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ СКОРОСТЕЙ

231.

динат их выражениями через q и bq, то рассматриваемая сумма останется полным дифференциалом. Но обратное, вообще говоря, неверно: может случиться, что Q1 Zq1 -)-Q2bq2-)- ••• H-Qfc^fc будет полным дифференциалом и в случае отсутствия силовой функции.

174. Приложения. Тяжелые системы. Когда система, для которой ищутся положения равновесия, находится под действием только сил тяжести, являющихся непосредственно приложенными силами, то, очевидно, существует силовая функция непосредственно приложенных сил. В самом деле, полагая, что ось Oz направлена вертикально вниз, получим для точки Zrci, имеющей вес m^g, возможную работу, равную Iriigbzi. Следовательно, для суммы возможных работ получится

g 8^i = gM а:-,

где С—ордината центра тяжести. Тогда положениями равновесия будут те, для которых равно нулю. Они совпадают с теми положениями, которые получаются при нахождении максимума или минимума координаты С, рассматриваемой как функция от k геометрически

независимых параметров qv q2.....qk, определяющих положение

системы.

Приме р ы. 1°. Найдем положение равновесия однородного тяжелого стержня ab (рис. 119), скользящего без трения своими концами по коническому сечению, фокальная ось которого вертикальна (система с одной степенью свободы). Прежде всего очевидными положениями равновесия, если только они возможны, будут горизонтальные положения. Для нахождения остальных положений равновесия рассмотрим директрису dd' и пусть aa' и bb' — расстояния от точек А и В до этой директрисы. Расстояние прямой dd' от центра тяжести G, находящегося на середине стержня AB, равно

GG'= Д'+ДД'.

Но если е — эксцентриситет и F— фокус, соответствующий директрисе dd', то, как известно, aa' и bb' равны соответственно — af и — bf, откуда получаем

GG' = afjTbf Рис. 119.



Следовательно, расстояние GG' будет максимумом или минимумом одновременно с af +BF, а последняя сумма будет, очевидно, минимумом, когда прямая ab проходит через фокус f. Таким образом, если прямая может проходить через фокус, то каждое ее положение является положением равновесия. В случае, показанном на фигуре, когда прямая проходит через f, она будет находиться в неустойчивом положении равновесия, так как в этом положении ее центр тяжести будет выше, чем в соседних положениях. Она
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed