Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Ориентация координатного триэдра. Мы будем предполагать, что координатный триэдр ориентирован таким образом, что поворот на 90° в положительном направлении вокруг оси Oz переводит ось Ox в ось Oy (рис. 1).
Примечание. При другом выборе положительного направления для сохранения формул необходимо изменить ориентацию осей, придерживаясь указанного правила.
7. Векторное произведение двух векторов. Проведем из какой-нибудь точки А векторы APi и AP2. геометрически равные двум заданным свободным векторам Px и Po, и построим на них параллелограмм APxQPo (рис. 6V Проведем далее из точки А вектор АО, перпендикулярный плоскости этого параллелограмма и содержащий столько единиц длины, сколько единиц площади содержится в параллелограмме. Направление вектора AG выберем таким образом, чтобы точка, пробегающая контур APlQPoA, вращалась вокруг AG в положительном
направлении. Этот вектор AG или G называется векторным, или внешним произведением векторов P1 и Po, что записывается следующим образом:
G = P1 X Por
Грассман называет вектор G дополнением цикла APxQPiA, определенного векторами P1 и Po.
Векторное произведение Po на Р, есть вектор AG' или G', противоположный вектору G. Действительно, новое векторное произведение имеет ту же линию действия и тот же модуль, что и вектор G, но оно направлено в противоположную сторону, так как точка, описывающая контур APoQP\A,
должна вращаться вокруг AG' в положительном направлении. Имеем:
G' = P2 X Р,
и, следовательно,
P2XP1 = —P1 XP2-
Если P1 совпадает с P2, то векторное произведение обращается в нуль:
P1 X P1 = 0.
III. Скользящие векторы. Пять координат скользящего вектора
8. Общие замечания. Рассмотрим вектор A1B1 модуля P1, приложенный в точке A1. По предположению, если такой вектор переносить вдоль его линии действия D1, то он по-прежнему будет представлять ту же самую физическую величину. При таком пере- 22
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
Рис.
носе вектор будет оставаться геометрически равным самому себе, и, следовательно, его проекция на какую-нибудь ось не будет изменяться. При этом, однако, не будут изменяться и некоторые другие геометрические величины, связанные с этим вектором.
Рассмотрим произвольную точку В пространства (рис, 7) и построим треугольник BA1B1, имеющий вершину в точке В, а основанием— вектор P1. Если
вектор A1B1 будет скользить вдоль прямой D1, то не будут изменяться следующие элементы:
1°. плоскость треугольника BA1B1, являющаяся плоскостью, образованной прямой D1 и точкой В,
2°. площадь треугольника BA1B1,
3°. направление, в котором точка, движущаяся вдоль вектора от A1 к B1, поворачивается вокруг В в плоскости BD1.
Можно заметить, что если рассматриваемую фигуру спроектировать на какую-нибудь плоскость Q в фигуру Ьа^Ь^ то аналогичные элементы в треугольнике ba^i не изменятся при скольжении вектора P1 вдоль прямой D1.
Для уяснения этих обстоятельств вводятся следующие определения.
9. Теория моментов. 1. Момент вектора L>il" _____
относительно точки (или векторный момент). ^ 1
Момент вектора P1 относительно какой-нибудь точки В (рис. 8) есть вектор BO1, приложенный в точке В и имеющий: 1) модуль, равный произведению P1 • 8 модуля вектора P1 на расстояние 8 от точки В до этого вектора, 2) линию действия, перпендикулярную плоскости BA1P1, 3) направление такое, что точка, перемещающаяся по ^1P1 от A1 к Pv поворачивается вокруг BG1 в положительном направлении.
Модуль этого момента равен удвоенной площади треугольника BA1P1. Он равен нулю тогда, когда либо P1, либо 8 равно нулю. Момент не изменяется, когда вектор P1 перемещается вдоль своей линии действия, или когда точка В перемещается вдоль прямой, параллельной этому вектору.
ч
Рис. 8.
Пример. Векторное произведение G = Pi X Ръ определение которого дано в пункте 7, равно моменту вектора P1 относительно конца вектора P2 (рис. 6). Наоборот, векторное произведение P2 X Р\ равно моменту вектора P2 относительно конца вектора P1. ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•23
2. Момент относительно оси. Этот момент есть число положительное, отрицательное или равное нулю. Его называют иногда скалярным моментом относительно оси в противоположность векторному моменту относительно точки. Определяется он следующим образом: момент вектора P1 относительно некоторой оси Д (рис. 9), на которой выбрано положительное направление, есть алгебраическое значение проекции на эту ось момента вектора P1 относительно точки, взятой на оси.
Чтобы такое определение имело смысл, необходимо показать, что значение момента не зависит от выбора точки на оси. Проведем через какую-нибудь точку В оси плоскость П, перпендикулярную оси, и пусть o1p1 — проекция
вектора A1P1 на эту плоскость,
BG1—момент вектора P1 относительно точки В и Bg1 — проекция
BG1 на ось Д. Так как угол между плоскостями A1BP1 равен углу между перпендикулярами к ним, то
Рис. 9.
O1Bp1
2 площ. O1Bp1 = 2 площ. A1BP1CosG1Bg1, Bg1 = BG1 cos G1Bg1.
Но так как модуль BG1 момента BG1 равен удвоенной площади A1BP1, то его проекция Bg1 равна по абсолютному значению удвоенной площади O1Bp1, а последняя величина не зависит, очевидно, от выбора точки В на оси Д. Знак проекции Bg1 также не зависит от выбора точки В и будет + или — в зависимости от того, будет ли точка, перемещающаяся вдоль A1P1, вращаться вокруг Д в положительном или в отрицательном направлении.
