Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
195
идущий от точки А к точке В (рис. 103). Если искать, каким должен быть этот многоугольник для того, чтобы сумма
о -яЛРі + ЯіЛЯ,+ ... + ПрР^В
была минимумом, то согласно предыдущему получится, что он должен быть тем путем, по которому идет световой луч от А к В, следуя законам преломления.
Допустим, наконец, что число поверхностей неограниченно увеличивается и притом так, что стороны многоугольника, так же как и разности п — nlt "1—І2> •••> стремятся к нулю. Тогда совокупность рассмотренных сред превратится в непрерывную среду, в которой абсолютный показатель преломления п будет непрерывной функцией <f(x, у, г) координат. Многоугольник, по которому следует световой луч, превратится в кривую, а сумма о станет интегралом
в
I = J nds.
А
Таким образом, путь светового луча Рис. 103.
из точки А в точку В совпадает с кривой,
которая обращает интеграл I в минимум и для которой мы составили дифференциальные уравнения. По этому вопросу можно указать на статью О. Бонне (Nouvelles Annales de Mathfematiques, 1887). Эти же кривые были исследованы Викером (Comptes Rendus, т. CVIII, стр. 330). Наиболее существенные их свойства были даны еще Эйлером в его «Теории брахистохрон».
IV. Плоские эластики
151. Натяжение и изгибающий момент. Пусть дан однородный упругий стержень, длина которого велика по сравнению с его толщиной и который имеет по всей своей длине одинаковые поперечные сечения. Осью стержня называют геометрическое место центров тяжести его поперечных сечений. Естественным состоянием равновесия стержня является та его форма, которую он принимает, когда на него не действуют никакие силы, которые стремились бы его деформировать, например, когда он положен на стол. Если к стержню приложить силы, стремящиеся его изогнуть, то он изменит свою форму и придет в новое состояние равновесия, которое называется вынужденным состоянием равновесия, соответствующим данным силам. Мы исследуем здесь наиболее простые случаи равновесия, когда изогнутая ось стержня (эластика) является плоской кривой. Но сначала укажем некоторые общие предложения, касающиеся такого рода задач.
Рассмотрим упругий стержень, ось которого в естественном состоянии имеет вид плоской кривой C0, и пусть P0 — радиус кривизны в какой-нибудь точке M этой кривой. Допустим теперь, что стержень деформируют, приложив к нему некоторые силы, но деформируют 196
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
так, чтобы не изменилась длина стержня и чтобы его ось осталась плоской и приняла новую форму С. Радиус кривизны в точке M будет теперь р. В этом положении вынужденного равновесия силы упругости определяются следующими законами.
Если разрезать стержень в точке М, то для сохранения равновесия нужно будет к сечению в точке M приложить силу Т, лежащую в плоскости кривой С и пару с вектором момента, перпендикулярным к этой плоскости, численное значение которого N (изгибающий момент) пропорционально изменению кривизны, так что
Vp Po /
где В— постоянный коэффициент, зависящий от природы стержня. 152. Ось стержня была первоначально дугой окружности.
Рассмотрим наиболее простой случай, когда ось стержня была первоначально дугой окружности M1AM2 или прямой, так что — — const.
Po
Пусть к концам M1 и M2 стержня приложены две силы T1 и T2, лежащие в плоскости его изогнутой оси при равновесии, и две пары N1 и N2 с моментами, перпендикулярными к этой плоскости.
Обе силы T1 и T2 равны и противоположно направлены, так как единственными действующими на стержень внешними силами, сумма проекций которых на произвольное направление должна равняться нулю, являются силы T1 и T2 и пары N1 и N2.
В' О В О со
Рис. 104.
С другой стороны, так как сумма моментов внешних сил относительно любой точки плоскости равняется нулю, то силы T1 и T2 составляют пару, которая уравновешивает пары N1 и N2.
Примем за ось Ox (рис. 104) прямую, параллельную силам T1 и T2. Пусть M—произвольная точка оси стержня. Если стержень разрезать в точке М, то часть M1M будет находиться в равновесии под ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
197
действием следующих внешних сил: 1) силы T1 и пары N1, действующих на конце M1; 2) силы T и пары N, действующих в точке М. Пара N имеет момент
Эти внешние силы, приложенные к дуге M1M, уравновешиваются. Следовательно, сила T равна по величине силе T1, но направлена противоположно ей. С другой стороны, сумма моментов всех внешних сил относительно любой точки плоскости должна равняться нулю. Возьмем сумму моментов относительно точки О; тогда, обозначая через у и ух ординаты точек M и M1, имеем
или, заменяя T через T1 и N его значением (1), получим уравнение
Если сила T1 равна нулю, т. е. если к концам стержня прикладываются только пары, то из этого уравнения получаем для 1/р постоянное значение, и фигура вынужденного равновесия будет другой дугой окружности.
Оставляя этот случай в стороне, разрешим уравнение относительно 1/р и в получившейся правой части вынесем T1IB в качестве множителя за скобки. Получим уравнение вида
