Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
f(x, у, г) = О
есть уравнение поверхности S, то должно выполняться условие
<2>
которое выражает, что вариация функции /(х, у, г) равна нулю при переходе от С к C1, й которое показывает, что одна из вариаций, например Вдг, есть функция двух других вариаций by и Ьг, которые остаются произволь-1 ными. При этом условии, обозначая через X. произвольную функцию, получим
(В) (¦а)
./ч
Вычтем этот равный нулю интеграл из Ь/. Получим
(В)
ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
193
где член с Ьг аналогичен двум первым членам. Эта вариация 5/ должна быть равна нулю, каковы бы ни были X, By и Ьг. Мы можем распорядиться величиной X таким образом, чтобы коэффициент при Bje обратился в нуль. Тогда величина, стоящая под знаком интеграла, будет содержать только члены с By и Ьг, и так как В/ должно равняться нулю при любых By и Вг, то коэффициенты при этих двух вариациях должны тоже равняться нулю. Таким образом, при подходящем выборе X получаются три следующих уравнения, которые мы выписываем с обратными знаками:
Эти уравнения, вместе с уравнением поверхности, определяют искомые кривые С.
Но эти уравнения в точности совпадают с уравнениями равновесия нити, лежащей на поверхности S, когда силовая функция равна — qїй натяжение равно f. Мы получаем, таким образом, результат, тождественный с тем, который мы получили для кривых в пространстве.
Пример. Если 9 = 1, то интеграл / определяет длину кривой AB. Следовательно, если искать на поверхности линии наименьшей длины, соединяющие две точки А и В, то получится фигура равновесия нити, которая лежит на поверхности и на которую не действуют никакие непосредственно приложенные силы (п. 144).
150. Рефракция. Покажем вкратце, что этот же интеграл J <f (х, у, г) ds
встречается в общей задаче рефракции. Этот факт, по крайней мере в наиболее простых случаях, был отмечен уже Мопертюи, Иваном Бернулли и Эйлером. Лаплас даже рассматривал с этой точки зрения двойную рефракцию (Memoires de !'Institut, 1809).
Когда световой луч переходит из пустоты в однородную среду, (рис. 102), ограниченную произвольной поверхностью S, то он подчиняется двум следующим законам:
1°. Падающий луч АР, преломленный луч PAx и нормаль PN к поверхности S находятся в одной плоскости.
2°. Справедливо соотношение
sin і
где I—угол APN, г — угол AiPNx и п — постоянная, называемая показателем преломления среды относительно пустоты или абсолютным показателем преломления.
Пусть (M) и (M1) — две однородные среды с абсолютными показателями преломления п и пх, разделенные поверхностью S. Если световой луч переходит из первой среды во вторую, то первый закон сохраняется и
sin І _ Пі
sin Г п 194
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
Напомнив эти законы, переходим к следующей задаче. Пусть А и A1 — две заданные точки по одну и другую стороны от S, a P — произвольная точка на этой поверхности. Каково должно быть положение точки Р, чтобы сумма
а = пАР + nxAJ>
была минимумом? Покажем, что минимум получится тогда, когда две прямые AP и PA1 удовлетворяют закону преломления при переходе из среды (Af) в среду (Afi). В самом деле, если обозначить через а, Ь, с координаты точки А, через O1, bv C1—координаты- точки Ai и через х, у, z—координаты точки Р, то расстояния AP и A1P будут соответственно иметь значения
У(х — а? + (у-Ь? + (г-с)* и Y(X-U1)^+ (у-bif+(Z-C1)2.
Сумма а будет функцией двух независимых переменных х и у, так как z есть функция от X и у, определяемая уравнением f(x, у, z) = 0 поверхности 5. Для того чтобы найти значения хну, обращающие а в минимум, необходимо приравнять нулю частные производные от а по х и у, что приводит к двум уравнениям
(х — a) + (z—c)^ (х — O1) +(г— C1)-^
п-=--Ь «і- ...-= О,
PA PA1
(y-b) + (z-C)|І (y-bl)+ (Z-C1)
п-=-у— + «1-=-— = О,
PA PA1
которые вместе с уравнением поверхности определяют координаты точки Р. Определив таким образом эту точку, сделаем замену осей координат: примем точку P за начало (рис. 102), за ось Oz примем нормаль в сторону точки А и за плоскость zx плоскость, содержащую А, так что координата b точки А будет равна нулю, а координаты а к с будут положительны. Величины х,
dz dz , r,
у, z, g—, будут тогда для точки P равны нулю и полученные уравнения
примут вид
= Ai = O.
PA PA1
Второе уравнение показывает, что точка A1 также лежит в плоскости zPx, что выражает первый закон преломления. Первое уравнение показывает, что O1 отрицательно и, если через і к г обозначить углы, образуемые отрезками AP и PA1 с нормалью Pz, то из этого уравнения получим
п sin I — Ti1 sin г = О,
так как ajPA и — Ci1JPA1 равны sin і и sin/-. Это — второй закон преломления. Таким образом, искомый минимум получается вдоль пути, по которому луч идет от і к j4(.
Вообразим теперь несколько поверхностей S1, S2, ...,Sp, разделяющих однородные среды. Пусть над S1 находится среда с абсолютным показателем преломления п, между Si и S2 — среда с показателем nlt между S2 и S8 — среда с показателем п2, и, наконец под Sp— среда с показателем пр. Возьмем в первой среде точку А, в последней среде точку В и рассмотрим мивгвугольник AP1P2 ... PpB с вершинами на каждой из поверхностей, ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
