Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
ГЛАВА I ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
Излагаемые в этой главе геометрические теории введены главным образом Пуансо, Шалем и Мёбиусом. Они находят приложение во многих важных вопросах геометрии, кинематики, механики и физики. Так, например, векторами изображаются скорости, ускорения, вращения, силы, вихри в гидродинамике и т. д.
I. Определения
1. Геометрические величины, или векторы. Геометрической величиной, или вектором, называется отрезок прямой A1B1 (рис. 1), имеющий начало в точке A1 и конец в точке B1.
Если отрезок A1B1 неограниченно продолжить в обе стороны, то получится бесконечная прямая D1, которая называется линией
действия вектора, или его основанием. Вектор обычно определяется следую-/ щими элементами: 1) своим началом или точкой приложения A1; 2) своей линией действия, совпадающей с неограниченной прямой ^1D1; 3) своим направлением, обозначаемым стрелкой 'О У на конце B1 и совпадающим с направ-
лением, в котором движется точка, перемещающаяся из начала A1 к кон-Рис. 1. цу. B1; 4) своим модулем P1, являю-
щимся длиной отрезка A1B1.
Аналитически вектор определяется координатами (X1, ylt Z1) его начала и (л^, y'v z'^j его конца относительно трех осей координат, или координатами (X1, уг, Z1) его начала и проекциями X1, Y1, Z1 отрезка A1B1 на эти оси. При этом знаки проекций определяются обычными правилами аналитической геометрии. Эти проекции, очевидно, равны
Xl = Xf1-Xv Yl = y[-y1, Z1 = S1-Z1. (1)
Мы будем обозначать вектор одной буквой P1, представляющей его длину или модуль и помещенной на его конце. В тех случаях, когда можно опасаться смешения с буквами, изображающими числа, мы будем ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•17
обозначать вектор A1B1 или P1 также через (/I1B1), (P1) или через A1B1, или P1 *).
Два вектора называются геометрически равными, если они параллельны, имеют одинаковые модули и одинаково направлены. Два вектора называются равными и противоположными, если они равны, параллельны и направлены в противоположные стороны.
2. Различные категории векторов. Все векторы, в зависимости от того, какие физические или механические величины они представляют, могут быть разделены на три следующие категории:
1°. Прежде всего может случиться, что два геометрически равных вектора изображают одну и ту же физическую или механическую величину. Как мы увидим дальше, это будет, например, справедливо для так называемых векторов моментов пары. Такого рода векторы, не имеющие ни определенной линии действия, ни определенной точки приложения, называются свободными.
2°. Может, однако, случиться, что два геометрически равных вектора ^1B1 и A2B2 (рис. 2) изображают одну и ту же физическую величину лишь при условии, что они имеют ^
общую линию действия, но они изобра-
жают различные физические величины, у'
если имеют различные линии действия. уГОІ
Это, например, имеет место для векторов, Hz
изображающих силы, действующие на твер-дое тело. Такие неотделимые от линии дей-ствия векторы называются скользящими. /
3°. Может, наконец, случиться, что /'Ді изображаемая физическая величина такова, р^
что два различных вектора изображают ' '
две различные физические величины, т. е. что вектор не может быть отделен от своей точки приложения. Такого рода векторы называются связанными. Связанным будет, например, вектор, изображающий скорость движущейся точки в какой-нибудь момент времени. Действительно, этот вектор не может быть отделен от движущейся точки.
Мы рассмотрим последовательно указанные выше три категории векторов и будем-характеризовать их некоторыми числами, которые в известном смысле являются их координатами.
II. Свободные векторы. Три координаты свободного вектора
3. Три координаты свободного вектора. Возьмем три оси Oxyz (рис. 1) и обозначим через X1, Y1, Z1 алгебраические значения
проекций вектора ^l1B1 на эти оси, причем проектирование на какую-нибудь ось производится параллельно плоскости, проходящей через
*) Скобками обозначается еще система векторов (S) (Прим. перев.) 2 Зак, 851. п, Аппель, т. I 18 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
две другие оси. Так как два геометрически равных вектора имеют, очевидно, одинаковые проекции и два вектора, имеющие одинаковые проекции, геометрически равны, то свободный вектор характеризуется тремя числами X1, Y1, Z1, которые являются его координатами.
Два вектора P1 и P2 с проекциями X1, Y1, Z1 и X2, Y2, Z2 геометрически равны, когда
X1 = X2, Y1 = Y2, Z1 = Z2; равны и противоположны, когда
X1 ^= X2, K1 ^= Y2, Z1 = — Z2, параллельны, когда их проекции пропорциональны:
A = Zl = A.
Xo Y'> ^2
Случай прямоугольных осей. Направляющие косинусы вектора. Допустим, что оси координат Ох, Oy, Oz являются прямоугольными, и обозначим через Ot1, P1, ^1 косинусы углов, которые образует
с этими осями вектор A1B1, имеющий модуль P1. Проектируя вектор на эти оси, получим
X1 = P1U1, Y1 = P1 P1, Z1 = Pl7l (2)
и, кроме того,
P1 = Vxl +К?+Zt
Скалярное произведение двух векторов; угол между ними. Рассмотрим два вектора P1 и P2. Их скалярным *) произведением (согласно мемуару Грассмана, Геометрический анализ, 1846) называется число
