Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Ответ. Компоненты скорости —
dr dd
dt ' dt
компоненты ускорения-
d4
dt*
\dt) r dt V dt 1
3. Точка описывает лемнискату
г2 = 2а>- cos 20
с постоянной по величине скоростью а. Выразить координаты точки в функции времени и вычислить ускорение. (Эта задача предполагает знакомство с эллиптическими функциями.)
Ответ. Пусть s — дуга кривой, отсчитываемая от точки, для которой 6 = 0. Тогда
С 2 a0-dr
at=s=-J-^T-
откуда
У(2а2 + л2)(2аа — г"-) ' г = a Y^ cnt, cos 0 = dnt, sin 0 = —J=- snt,
Y 2
где модуль эллиптических функций равен ^L. . Отсюда непосредственно
найдутся X и у в функции времени.
4. Показать, что при движении твердого тела в заданный момент времени:
а) геометрическое место точек тела, скорости которых пересекаются в заданной точке, есть пространственная кубическая кривая;
б) геометрическое место направлений этих скоростей есть конус второго порядка;
в) геометрическое место точек, скорости которых равны по величине, есть цилиндр вращения вокруг мгновенной винтовой оси (Шаль).
5. Те же вопросы для ускорений.
6. При движении твердого тела плоскости, перпендикулярные к траекториям точек, лежащих в одной плоскости, проходят через одну точку. Плоскости, перпендикулярные к траекториям точек, лежащих на одной прямой D, проходят через одну прямую Д. Плоскости, перпендикулярные к траекториям точек, лежащих на поверхности порядка т, огибают поверхность класса т (Шаль). (Эти свойства непосредственно вытекают из свойств плоскостей и их фокусов, указанных в п. 17.)
7. Плоскости, перпендикулярные к траекториям двух произвольных точек а и b тела, пересекают мгновенную винтовую ось D в двух точках а и ?, являющихся основаниями перпендикуляров, опущенных из а и b на указанную ось, так что
a? = ab cos (ab, D) (Шаль),
8. Если скорости, которыми обладают в один и тот же момент времени различные точки тела, рассматривать как бесконечные прямые, то они 84
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
образуют комплекс второго порядка, конические сечения которого являются* параболоидами (задача, аналогичная задаче 8 предыдущей главы).
9. В движущемся твердом теле скорости различных точек в момент t проектируются на плоскость, перпендикулярную к центральной оси. Показать, что эти проекции перпендикулярны к прямым, соединяющим проекции точек на эту же плоскость с точкой ее пересечения с центральной осью.
10. Построение мгновенной винтовой оси по Понселе. Через произвольную точку О пространства проводят три вектора OV, OV', OV", равных скоростям трех точек тела М, M', М". Мгновенная винтовая ось перпендикулярна плоскости я трех точек V, V, V". Пусть т и т' — проекции на эту плоскость двух из этих точек, M и M', a mv и m'v' — проекции их скоростей. Перпендикуляры, восставленные в точках т и т' к mv и m'v', пересекаются в точке встречи оси с плоскостью п. Ось таким образом определена.
11. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки. Показать, что если мгновенная ось занимает постоянное положение в теле, то она занимает также постоянное положение и в пространстве, и движение является вращением вокруг неподвижной оси.
Обратно, если мгновенная ось неподвижна в пространстве, то она неподвижна также и относительно тела.
12. Рассмотрим пространственную кривую, отнесенную к неподвижным осям O1Jtjy1^1, и движущуюся по ней точку О, координаты которой являются заданными функциями дуги s. Предположим, что движение точки О определяется уравнением S = Zh рассмотрим прямоугольный триэдр Oxyz, образованный касательной Ох, направленной в сторону движения, главной нормалью Oy, направленной в сторону радиуса кривизны р, и бинормалью Oz.
а) Найти проекции р, q, г мгновенного вращения подвижного триэдра на подвижные оси.
Ответ.
р =--, <7 = 0, г = — (т — радиус кручения)
б) Найти уравнения мгновенной винтовой оси.
13. Показать, воспользовавшись предыдущими результатами, что если
р и
— = const, то кривая является винтовои линиеи, проведенной на произвольном цилиндре (Бертран).
[Рассмотреть вспомогательный триэдр O1X'y'z' с неподвижной вершиной и с ребрами, параллельными подвижным осям Oxyz. Если — = const,
%
то мгновенная ось вращения этого нового триэдра будет неподвижна относительно его и, следовательно, неподвижна в пространстве (задача 11), а касательная Ox образует с направлением этой неподвижной оси постоянный угол.]
14. Прямая AB пространства связана с неподвижной осью Oz, вокруг которой она вращается с постоянной угловой скоростью w. Твердое тело С, связанное с прямой AB, вращается вокруг нее с той же относительной угловой скоростью СО.
Найти для этого тела мгновенную винтовую ось, неподвижную линейчатую поверхность H1 и подвижную линейчатую поверхность
15. Круглый цилиндр С катится внутри круглого цилиндра С' вдвое большего радиуса и одновременно скользит параллельно образующей, причем так, что одна из точек цилиндра С описывает неподвижную прямую, обязательно пересекающую ось цилиндра С'.
Показать, что в этом движении все другие точки тела описывают эллипсы. ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА
